Desplazamiento angular

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
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Categorías ► Mecánica clásica
v t mi

La rotación de un cuerpo rígido P alrededor de un eje fijo O.

El desplazamiento angular de un cuerpo es el ángulo en radianes, grados o revoluciones a través del cual un punto gira alrededor de un centro o un eje específico en un sentido específico. Cuando un cuerpo gira sobre su eje, el movimiento no puede analizarse simplemente como una partícula, ya que en el movimiento circular experimenta una velocidad y una aceleración cambiantes en cualquier momento ( t). Cuando se trata de la rotación de un cuerpo, resulta más sencillo considerar que el propio cuerpo es rígido. Un cuerpo generalmente se considera rígido cuando las separaciones entre todas las partículas permanecen constantes a lo largo del movimiento del cuerpo, por lo que, por ejemplo, partes de su masa no están volando. En un sentido realista, todas las cosas pueden ser deformables, sin embargo, este impacto es mínimo e insignificante. Por tanto, la rotación de un cuerpo rígido sobre un eje fijo se denomina movimiento de rotación.

• 1 ejemplo
• 2 medidas
• 3 Tres dimensiones
  • 3.1 Notación matricial
• 4 matrices de rotación infinitesimales
  • 4.1 Generadores de rotaciones
  • 4.2 Relación con las álgebras de Lie
  • 4.3 Mapa exponencial
• 5 Véase también
• 6 referencias

Ejemplo

En el ejemplo ilustrado a la derecha (o arriba en algunas versiones móviles), una partícula o cuerpo P está a una distancia fija r del origen, O, girando en sentido antihorario. Entonces se vuelve importante representar la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares ( r, θ). En este ejemplo en particular, el valor de θ está cambiando, mientras que el valor del radio sigue siendo el mismo. (En coordenadas rectangulares ( x, y) tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo, recorre una longitud de arco s, que se relaciona con la posición angular a través de la relación: -

$$s=rθ {\ Displaystyle s = r \ theta \,}

Mediciones

El desplazamiento angular se puede medir en radianes o grados. El uso de radianes proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo y la distancia r desde el centro.

$$θ= s r {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {s} {r}}}

Por ejemplo, si un cuerpo rota 360 ° alrededor de un círculo de radio r, el desplazamiento angular está dada por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia - que es 2π r - dividido por el radio: lo que simplifica fácilmente a:. Por lo tanto, 1 revolución son radianes. $$

θ= 2 π r r {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {2 \ pi r} {r}}}$$θ=2π {\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi}$$2π {\ Displaystyle 2 \ pi}

Cuando una partícula viaja del punto P al punto Q, como lo hace en la ilustración de la izquierda, el radio del círculo pasa por un cambio de ángulo que es igual al desplazamiento angular. $$

δt {\ Displaystyle \ delta t}$$Δθ= θ 2- θ 1 {\ Displaystyle \ Delta \ theta = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}}

Tres dimensiones

Figura 1: Teorema de rotación de Euler. Un gran círculo se transforma en otro gran círculo bajo rotaciones, dejando siempre un diámetro de la esfera en su posición original. Figura 2: Una rotación representada por un eje y un ángulo de Euler.

En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe en virtud del teorema de rotación de Euler ; la magnitud especifica la rotación en radianes alrededor de ese eje (usando la regla de la mano derecha para determinar la dirección). Esta entidad se llama eje-ángulo.

A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece a la ley conmutativa de la suma. Sin embargo, cuando se trata de rotaciones infinitesimales, se pueden descartar infinitesimales de segundo orden y en este caso aparece la conmutatividad.

Existen varias formas de describir el desplazamiento angular, como matrices de rotación o ángulos de Euler. Ver gráficos en SO (3) para otros.

Notación matricial

Dado que cualquier fotograma del espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación. Ser y dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellos puede ser obtenido como. Cuando este producto se realiza teniendo una diferencia muy pequeña entre ambos fotogramas obtendremos una matriz cercana a la identidad. $$

A 0 {\ Displaystyle A_ {0}}$$ A F {\ Displaystyle A_ {f}}$$ΔA= A F A 0 - 1 {\ Displaystyle \ Delta A = A_ {f} A_ {0} ^ {- 1}}

En el límite, tendremos una matriz de rotación infinitesimal.

Matrices de rotación infinitesimales

Más información: Generadores de rotaciones, rotaciones infinitesimales, infinitesimal rotación del tensor, y grupo de rotación SO (3) § rotaciones infinitesimales

Un desplazamiento angular infinitesimal es una matriz de rotación infinitesimal :

• Como cualquier matriz de rotación tiene un único valor propio real, que es +1, este valor propio muestra el eje de rotación.
• Su módulo se puede deducir del valor de la rotación infinitesimal.
• La forma de la matriz es así: $$$$A= ( 1 - D ϕ z ( t ) D ϕ y ( t ) D ϕ z ( t ) 1 - D ϕ X ( t ) - D ϕ y ( t ) D ϕ X ( t ) 1) {\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 amp; -d \ phi _ {z} (t) amp; d \ phi _ {y} (t) \\ d \ phi _ {z} (t) amp; 1 amp; -d \ phi _ {x} (t) \\ - d \ phi _ {y} (t) amp; d \ phi _ {x} (t) amp; 1 \\\ end {pmatrix}}}

Aquí podemos introducir el tensor de desplazamiento angular infinitesimal o generador de rotación asociado:

$$DΦ(t)= ( 0 - D ϕ z ( t ) D ϕ y ( t ) D ϕ z ( t ) 0 - D ϕ X ( t ) - D ϕ y ( t ) D ϕ X ( t ) 0) {\ Displaystyle d \ Phi (t) = {\ begin {pmatrix} 0 amp; -d \ phi _ {z} (t) amp; d \ phi _ {y} (t) \\ d \ phi _ {z} (t) amp; 0 amp; -d \ phi _ {x} (t) \\ - d \ phi _ {y} (t) amp; d \ phi _ {x} (t) amp; 0 \\\ end {pmatrix}}}

Tal que su matriz de rotación asociada sea. Cuando se divide por el tiempo, esto producirá el vector de velocidad angular. $$

A=I+DΦ(t) {\ Displaystyle A = I + d \ Phi (t)}

Generadores de rotaciones

Artículos principales: Matriz de rotación, Grupo de rotación SO (3) y Transformación infinitesimal

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x, y, z ], y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita y tomando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

$$ΔR= [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1]+ [ 0 z - y - z 0 X y - X 0]Δθ= I+ AΔθ. {\ displaystyle \ Delta R = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 amp; z amp; -y \\ - z amp; 0 amp; x \\ y amp; -x amp; 0 \ end {bmatrix} } \, \ Delta \ theta = \ mathbf {I} + \ mathbf {A} \, \ Delta \ theta.}

Una rotación finita a través del ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δ θ como θ / N donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje se puede representar como:

$$R= ( 1 + A θ norte ) norte≈ mi A θ. {\ Displaystyle R = \ left (\ mathbf {1} + {\ frac {\ mathbf {A} \ theta} {N}} \ right) ^ {N} \ approx e ^ {\ mathbf {A} \ theta}.}

Puede verse que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto es el "generador" de la rotación particular, siendo el vector ( x, y, z) asociado a la matriz A. Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial. $$

Aθ {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ theta}

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario definido por un par de vectores unitarios perpendiculares ay b. En este plano se puede elegir un vector x arbitrario con y perpendicular. Uno entonces resuelve para y en términos de x y sustituyendo en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba ^T - ab ^T.

$$ X = a porque ⁡ ( α ) + B pecado ⁡ ( α ) y = - a pecado ⁡ ( α ) + B porque ⁡ ( α ) porque ⁡ ( α ) = a T X pecado ⁡ ( α ) = B T X y = - a B T X + B a T X = ( B a T - a B T ) X X ′ = X porque ⁡ ( β ) + y pecado ⁡ ( β ) = [ I porque ⁡ ( β ) + ( B a T - a B T ) pecado ⁡ ( β ) ] X R = I porque ⁡ ( β ) + ( B a T - a B T ) pecado ⁡ ( β ) = I porque ⁡ ( β ) + GRAMO pecado ⁡ ( β ) GRAMO = B a T - a B T {\ Displaystyle {\ begin {alineado} x amp; = a \ cos \ left (\ alpha \ right) + b \ sin \ left (\ alpha \ right) \\ y amp; = - a \ sin \ left (\ alpha \ right) + b \ cos \ left (\ alpha \ right) \\\ cos \ left (\ alpha \ right) amp; = a ^ {T} x \\\ sin \ left (\ alpha \ right) amp; = b ^ {T } x \\ y amp; = - ab ^ {T} x + ba ^ {T} x = \ left (ba ^ {T} -ab ^ {T} \ right) x \\\\ x 'amp; = x \ cos \ left (\ beta \ right) + y \ sin \ left (\ beta \ right) \\ amp; = \ left [I \ cos \ left (\ beta \ right) + \ left (ba ^ {T} -ab ^ {T} \ right) \ sin \ left (\ beta \ right) \ right] x \\\\ R amp; = I \ cos \ left (\ beta \ right) + \ left (ba ^ {T} -ab ^ { T} \ right) \ sin \ left (\ beta \ right) \\ amp; = I \ cos \ left (\ beta \ right) + G \ sin \ left (\ beta \ right) \\\\ G amp; = ba ^ {T} -ab ^ {T} \\\ end {alineado}}}

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial.

$$ PAG a B = - GRAMO 2 R = I - PAG a B + [ I porque ⁡ ( β ) + GRAMO pecado ⁡ ( β ) ] PAG a B = mi GRAMO β {\ Displaystyle {\ begin {alineado} P_ {ab} amp; = - G ^ {2} \\ R amp; = I-P_ {ab} + \ left [I \ cos \ left (\ beta \ right) + G \ sin \ left (\ beta \ right) \ right] P_ {ab} = e ^ {G \ beta} \\\ end {alineado}}}

El análisis suele ser más fácil en términos de estos generadores, en lugar de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como álgebra de Lie del grupo de rotación.

Relación con las álgebras de Lie

Las matrices del álgebra de Lie no son en sí mismas rotaciones; las matrices asimétricas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

$$I+ADθ , {\ Displaystyle I + A \, d \ theta ~,}

donde dθ es muy pequeño y A ∈ entonces (n), por ejemplo con A = L x,

$$D L X= [ 1 0 0 0 1 - D θ 0 D θ 1 ] . {\ displaystyle dL_ {x} = \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; -d \ theta \\ 0 amp; d \ theta amp; 1 \ end {smallmatrix}} \ right].}

Las reglas de cálculo son las habituales, excepto que los infinitesimales de segundo orden se eliminan de forma rutinaria. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante. Para ver esto ejemplificado, consulte las rotaciones infinitesimales SO (3).

Mapa exponencial

Artículos principales: Grupo de rotación SO (3) § Mapa exponencial y Matriz exponencial

La conexión del álgebra de Lie con el grupo de Lie es el mapa exponencial, que se define utilizando la serie exponencial de la matriz estándar para e ^A Para cualquier matriz A de simetría sesgada, exp ( A) es siempre una matriz de rotación.

Un ejemplo práctico importante es el caso de 3 × 3. En el grupo de rotación SO (3), se muestra que uno puede identificar cada A ∈ entonces (3) con un vector de Euler ω = θ u, donde u = ( x, y, z) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación Do (2) ≅ R ³, u es en el espacio nulo de A. Por tanto, exp ( A) deja invariante u y, por tanto, es un eje de rotación.

Usando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma de matriz con θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2, junto con las fórmulas estándar de doble ángulo se obtiene,

$$ Exp ⁡ ( A ) = Exp ⁡ ( θ ( tu ⋅ L ) ) = Exp ⁡ ( [ 0 - z θ y θ z θ 0 - X θ - y θ X θ 0 ] ) = I + 2 porque ⁡ θ 2 pecado ⁡ θ 2   tu ⋅ L + 2 pecado 2 ⁡ θ 2   ( tu ⋅ L ) 2 , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ exp (A) amp; {} = \ exp (\ theta ({\ boldsymbol {u \ cdot L}})) = \ exp \ left (\ left [{\ begin {smallmatrix } 0 amp; -z \ theta amp; y \ theta \\ z \ theta amp; 0 amp; -x \ theta \\ - y \ theta amp; x \ theta amp; 0 \ end {smallmatrix}} \ right] \ right) = {\ boldsymbol {I}} + 2 \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} ~ {\ boldsymbol {u \ cdot L}} + 2 \ sin ^ {2} {\ frac { \ theta} {2}} ~ ({\ boldsymbol {u \ cdot L}}) ^ {2}, \ end {alineado}}}

donde c = cos θ ⁄ 2, s = sin θ ⁄ 2.

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u en el ángulo θ en forma de medio ángulo. Para obtener detalles completos, consulte el mapa exponencial SO (3).

Observe que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden pueden ignorarse y permanece exp ( A) = I + A

Ver también

• Distancia angular
• Posición angular
• Velocidad angular
• Rotación infinitesimal
• Elasticidad lineal
• Segundo momento de área

Referencias

1. ^ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). Introducción a la mecánica. McGraw-Hill. págs.  288 –89.
2. ^ en el espacio euclidiano
3. ↑ ( Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)error de harv: sin destino: CITEREFGoldsteinPooleSafko2002 ( ayuda )
4. ↑ ( Wedderburn 1934, §8.02)error de harv: sin destino: CITEREFWedderburn1934 ( ayuda )