Dualidad Kramers-Wannier

La dualidad Kramers-Wannier es una simetría en física estadística. Relaciona la energía libre de un modelo de Ising de celosía cuadrada bidimensional a baja temperatura con la de otro modelo de Ising a alta temperatura. Fue descubierto por Hendrik Kramers y Gregory Wannier en 1941. Con la ayuda de esta dualidad, Kramers y Wannier encontraron la ubicación exacta del punto crítico para el modelo de Ising en la celosía cuadrada.

Dualidades similares establecen relaciones entre energías libres de otros modelos estadísticos. Por ejemplo, en 3 dimensiones, el modelo Ising es dual con un modelo de calibre Ising.

• 1 idea intuitiva
• 2 Derivación
• 3 Ver también
• 4 referencias
• 5 enlaces externos

Idea intuitiva

El modelo Ising bidimensional existe en una celosía, que es una colección de cuadrados en un patrón de tablero de ajedrez. Con la celosía finita, los bordes se pueden conectar para formar un toro. En teorías de este tipo, se construye una transformación involutiva. Por ejemplo, Lars Onsager sugirió que la transformación Estrella-Triángulo podría usarse para la red triangular. Ahora bien, el dual del toro discreto es él mismo. Además, el dual de un sistema altamente desordenado (alta temperatura) es un sistema bien ordenado (baja temperatura). Esto se debe a que la transformada de Fourier toma una señal de ancho de banda alto (más desviación estándar ) a una baja (menos desviación estándar). Entonces uno tiene esencialmente la misma teoría con una temperatura inversa.

Cuando uno sube la temperatura en una teoría, uno baja la temperatura en la otra. Si solo hay una transición de fase, será en el punto en el que se cruzan, en el que la temperatura es igual. Debido a que el modelo de Ising 2D pasa de un estado desordenado a un estado ordenado, existe un mapeo casi uno a uno entre las fases desordenada y ordenada.

La teoría se ha generalizado y ahora se combina con muchas otras ideas. Por ejemplo, la celosía cuadrada se reemplaza por un círculo, celosía aleatoria, toro no homogéneo, celosía triangular, laberinto, celosías con límites retorcidos, modelo quiral de Potts y muchos otros.

Derivación

Defina estas variables. La expansión a baja temperatura para (K ^*, L ^*) es

$$ Z norte( K ∗, L ∗)=2 mi norte ( K ∗ + L ∗ ) ∑ PAGS ⊂ Λ re( mi - 2 L ∗ ) r( mi - 2 K ∗ ) s {\ Displaystyle Z_ {N} (K ^ {*}, L ^ {*}) = 2e ^ {N (K ^ {*} + L ^ {*})} \ sum _ {P \ subconjunto \ Lambda _ { D}} (e ^ {- 2L ^ {*}}) ^ {r} (e ^ {- 2K ^ {*}}) ^ {s}}

que al usar la transformación

$$tanh⁡K= mi - 2 L ∗, tanh⁡L= mi - 2 K ∗ {\ Displaystyle \ tanh K = e ^ {- 2L ^ {*}}, \ \ tanh L = e ^ {- 2K ^ {*}}}

da

$$ Z norte( K ∗, L ∗)=2(tanh⁡Ktanh⁡L ) - norte / 2 ∑ PAGS v r w s {\ Displaystyle Z_ {N} (K ^ {*}, L ^ {*}) = 2 (\ tanh K \; \ tanh L) ^ {- N / 2} \ sum _ {P} v ^ {r} w ^ {s}}

$$=2(pecado⁡2Kpecado⁡2L ) - norte / 2 Z norte(K,L) {\ Displaystyle = 2 (\ sinh 2K \; \ sinh 2L) ^ {- N / 2} Z_ {N} (K, L)}

donde v = tanh K y w = TANH L. Esto produce una relación con la expansión a alta temperatura. Las relaciones se pueden escribir de forma más simétrica como

$$pecado⁡2 K ∗pecado⁡2L=1 {\ Displaystyle \, \ sinh 2K ^ {*} \ sinh 2L = 1}

$$pecado⁡2 L ∗pecado⁡2K=1 {\ Displaystyle \, \ sinh 2L ^ {*} \ sinh 2K = 1}

Con la energía libre por sitio en el límite termodinámico

$$F(K,L)= lim norte → ∞ F norte(K,L)=-kT lim norte → ∞ 1 norteIniciar sesión⁡ Z norte(K,L) {\ Displaystyle f (K, L) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} f_ {N} (K, L) = - kT \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {N }} \ log Z_ {N} (K, L)}

la dualidad Kramers-Wannier da

$$F( K ∗, L ∗)=F(K,L)+ 1 2kTIniciar sesión⁡(pecado⁡2Kpecado⁡2L) {\ Displaystyle f (K ^ {*}, L ^ {*}) = f (K, L) + {\ frac {1} {2}} kT \ log (\ sinh 2K \ sinh 2L)}

En el caso isotrópico donde K = L, si hay un punto crítico en K = K c, entonces hay otro en K = K ^*c. Por lo tanto, en el caso de que exista un único punto crítico, se ubicaría en K = K ^* = K ^*c, lo que implica sinh 2K c = 1, lo que da como resultado kT c = 2.2692J.

Ver también

• Modelo de ising
• S-dualidad
• Modelo ZN

Referencias

1. ^ Somendra M. Bhattacharjee y Avinash Khare, Cincuenta años de la solución exacta del modelo de Ising bidimensional de Onsager (1995), arXiv : cond-mat / 9511003
2. ^ arXiv : cond-mat / 9805301, propiedad auto-dual del modelo de Potts en una dimensión, FY Wu
3. ^ arXiv : hep-lat / 0110063, operador de Dirac y modelo de Ising en una celosía aleatoria 2D compacta, L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson
4. ^ arXiv : hep-th / 9703037, Dualidad del modelo de Ising no homogéneo 2D en el Torus, AI Bugrij, VN Shadura
5. ^ arXiv : cond-mat / 0402420, Autodualidad para modelos Potts acoplados en la celosía triangular, Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco
6. ^ arXiv : solv-int / 9902009, Un modelo crítico de Ising en el laberinto, M. Baake, U. Grimm, RJ Baxter
7. ^ arXiv : hep-th / 0209048, Dualidad y límites retorcidos conforme en el modelo de Ising, Uwe Grimm
8. ^ arXiv : 0905.1924, Dualidad y simetría en el modelo quiral Potts, Shi-shyr Roan

enlaces externos

• HA Kramers y GH Wannier (1941). "Estadísticas del ferromagnet bidimensional". Revisión física. 60: 252-262. Código bibliográfico : 1941PhRv... 60..252K. doi : 10.1103 / PhysRev.60.252.
• JB Kogut (1979). "Una introducción a la teoría del calibre de celosía y los sistemas de espín". Reseñas de física moderna. 51 (4): 659–713. Código Bibliográfico : 1979RvMP... 51..659K. doi : 10.1103 / RevModPhys.51.659.