Sistema no lineal

La "dinámica no lineal" vuelve a dirigir aquí. Para el diario, consulte Dinámica no lineal (diario).

Sistemas complejos
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Dinámica no lineal Análisis de series temporales Ecuaciones diferenciales ordinarias Espacio de fase Atractores Dinámica de población Caos Multiestabilidad Bifurcación Celosías de mapa acopladas
Teoría de juego El dilema del prisionero Teoría de la elección racional Racionalidad limitada Teoría de juegos evolutivos
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Este artículo trata sobre la "no linealidad" en matemáticas, física y otras ciencias. Para la edición de videos y películas, consulte Sistema de edición no lineal. Para otros usos, consulte No linealidad (desambiguación).

En matemáticas y ciencias, un sistema no lineal es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada. Los problemas no lineales son de interés para ingenieros, biólogos, físicos, matemáticos y muchos otros científicos porque la mayoría de los sistemas son de naturaleza intrínsecamente no lineal. Los sistemas dinámicos no lineales, que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contradictorios, en contraste con sistemas lineales mucho más simples.

Normalmente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema de ecuaciones no lineal, que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de las ecuaciones diferenciales ) aparecen como variables de un polinomio de grado mayor que uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno. En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineal, la ecuación (es) a resolver no se puede escribir como una combinación lineal de las variables desconocidas o funciones que aparecen en ellas. Los sistemas se pueden definir como no lineales, independientemente de si aparecen funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en términos de la función desconocida y sus derivadas, incluso si no es lineal en términos de las otras variables que aparecen en ella.

Como las ecuaciones dinámicas no lineales son difíciles de resolver, los sistemas no lineales suelen aproximarse mediante ecuaciones lineales ( linealización ). Esto funciona bien con cierta precisión y cierto rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como los solitones, el caos y las singularidades están ocultos por la linealización. De ello se desprende que algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contradictorios, impredecibles o incluso caóticos. Aunque tal comportamiento caótico puede parecerse a un comportamiento aleatorio, de hecho no es aleatorio. Por ejemplo, se considera que algunos aspectos del clima son caóticos, donde los cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todo. Esta no linealidad es una de las razones por las que los pronósticos precisos a largo plazo son imposibles con la tecnología actual.

Algunos autores utilizan el término ciencia no lineal para el estudio de sistemas no lineales. Este término es disputado por otros:

Usar un término como ciencia no lineal es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de animales no elefantes.

-  Stanislaw Ulam

• 1 Definición
• 2 ecuaciones algebraicas no lineales
• 3 Relaciones de recurrencia no lineales
• 4 Ecuaciones diferenciales no lineales
  • 4.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • 4.2 Ecuaciones diferenciales parciales
  • 4.3 Pendula
• 5 tipos de comportamientos dinámicos no lineales
• 6 Ejemplos de ecuaciones no lineales
• 7 Véase también
• 8 referencias
• 9 Lecturas adicionales
• 10 enlaces externos

Definición

En matemáticas, un mapa lineal (o función lineal) es uno que satisface las dos propiedades siguientes: $$

F(X) {\ Displaystyle f (x)}

• Principio de aditividad o superposición :$$F(X+y)=F(X)+F(y); {\ Displaystyle \ textstyle f (x + y) = f (x) + f (y);}
• Homogeneidad: $$F(αX)=αF(X). {\ Displaystyle \ textstyle f (\ alpha x) = \ alpha f (x).}

La aditividad implica homogeneidad para cualquier α racional y, para funciones continuas, para cualquier α real. Para un complejo α, la homogeneidad no se sigue de la aditividad. Por ejemplo, un mapa antilineal es aditivo pero no homogéneo. Las condiciones de aditividad y homogeneidad a menudo se combinan en el principio de superposición.

$$F(αX+βy)=αF(X)+βF(y) {\ Displaystyle f (\ alpha x + \ beta y) = \ alpha f (x) + \ beta f (y)}

Una ecuación escrita como

$$F(X)=C {\ Displaystyle f (x) = C}

se llama lineal si es un mapa lineal (como se definió anteriormente) y no lineal en caso contrario. La ecuación se llama homogénea si. $$

F(X) {\ Displaystyle f (x)}$$C=0 {\ Displaystyle C = 0}

La definición es muy general, ya que puede ser cualquier objeto matemático sensible (número, vector, función, etc.), y la función puede ser literalmente cualquier mapeo, incluida la integración o diferenciación con restricciones asociadas (como valores límite ). Si contiene diferenciación con respecto a, el resultado será una ecuación diferencial. $$

F(X)=C {\ Displaystyle f (x) = C}$$X {\ Displaystyle x}$$F(X) {\ Displaystyle f (x)} $$F(X) {\ Displaystyle f (x)} $$X {\ Displaystyle x}

Ecuaciones algebraicas no lineales

Artículos principales: Ecuación algebraica y Sistema de ecuaciones polinomiales

Las ecuaciones algebraicas no lineales, que también se denominan ecuaciones polinomiales, se definen equiparando polinomios (de grado mayor que uno) a cero. Por ejemplo,

$$ X 2+X-1=0. {\ Displaystyle x ^ {2} + x-1 = 0 \,.}

Para una sola ecuación polinomial, se pueden usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar soluciones a la ecuación (es decir, conjuntos de valores para las variables que satisfacen la ecuación). Sin embargo, los sistemas de ecuaciones algebraicas son más complicados; su estudio es una motivación para el campo de la geometría algebraica, una rama difícil de las matemáticas modernas. Incluso es difícil decidir si un sistema algebraico dado tiene soluciones complejas (ver Nullstellensatz de Hilbert ). Sin embargo, en el caso de los sistemas con un número finito de soluciones complejas, estos sistemas de ecuaciones polinomiales ahora se comprenden bien y existen métodos eficientes para resolverlos.

Relaciones de recurrencia no lineales

Una relación de recurrencia no lineal define los términos sucesivos de una secuencia como una función no lineal de los términos precedentes. Ejemplos de relaciones de recurrencia no lineales son el mapa logístico y las relaciones que definen las diversas secuencias de Hofstadter. Los modelos discretos no lineales que representan una amplia clase de relaciones de recurrencia no lineales incluyen el modelo NARMAX (Promedio móvil autorregresivo no lineal con entradas eXógenas) y los procedimientos de análisis e identificación de sistemas no lineales relacionados. Estos enfoques se pueden utilizar para estudiar una amplia clase de comportamientos no lineales complejos en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporales.

Ecuaciones diferenciales no lineales

Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales no es lineal si no es un sistema lineal. Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos y los métodos de solución o análisis dependen del problema. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos y las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología.

Una de las mayores dificultades de los problemas no lineales es que generalmente no es posible combinar soluciones conocidas en nuevas soluciones. En problemas lineales, por ejemplo, se puede utilizar una familia de soluciones linealmente independientes para construir soluciones generales mediante el principio de superposición. Un buen ejemplo de esto es el transporte de calor unidimensional con condiciones de frontera de Dirichlet, cuya solución se puede escribir como una combinación lineal dependiente del tiempo de sinusoides de diferentes frecuencias; esto hace que las soluciones sean muy flexibles. A menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas para ecuaciones no lineales, sin embargo, la falta de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a menudo se pueden resolver exactamente mediante la separación de variables, especialmente para las ecuaciones autónomas. Por ejemplo, la ecuación no lineal

$$ D tu D X=- tu 2 {\ Displaystyle {\ frac {du} {dx}} = - u ^ {2}}

tiene como solución general (y también u = 0 como solución particular, correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito). La ecuación no es lineal porque puede escribirse como $$

tu= 1 X + C {\ Displaystyle u = {\ frac {1} {x + C}}}

$$ D tu D X+ tu 2=0 {\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} + u ^ {2} = 0}

y el lado izquierdo de la ecuación no es una función lineal de u y sus derivadas. Tenga en cuenta que si el término u ² fuera reemplazado por u, el problema sería lineal (el problema de la desintegración exponencial ).

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y de orden superior (más generalmente, sistemas de ecuaciones no lineales) rara vez producen soluciones de forma cerrada, aunque se encuentran soluciones implícitas y soluciones que involucran integrales no elementales.

Los métodos comunes para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales incluyen:

• Examen de cualquier cantidad conservada, especialmente en sistemas hamiltonianos.
• Examen de cantidades disipativas (ver función de Lyapunov ) análoga a las cantidades conservadas
• Linealización a través de la expansión de Taylor
• Cambio de variables en algo más fácil de estudiar.
• Teoría de la bifurcación
• Métodos de perturbación (también se pueden aplicar a ecuaciones algebraicas)

Ecuaciones diferenciales parciales

Artículo principal: Ecuación diferencial parcial no lineal Ver también: Lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineales

El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema) para que el problema resultante sea más simple (posiblemente incluso lineal). A veces, la ecuación se puede transformar en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias, como se ve en la separación de variables, lo que siempre es útil tanto si las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes se pueden resolver como si no.

Otra táctica común (aunque menos matemática), que se ve a menudo en la mecánica de fluidos y calor, es usar el análisis de escala para simplificar una ecuación general y natural en un determinado problema de valor límite específico. Por ejemplo, las ecuaciones (muy) no lineales de Navier-Stokes se pueden simplificar en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de flujo transitorio, laminar y unidimensional en una tubería circular; el análisis de escala proporciona condiciones bajo las cuales el flujo es laminar y unidimensional y también produce la ecuación simplificada.

Otros métodos incluyen examinar las características y utilizar los métodos descritos anteriormente para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Pendula

Artículo principal: Péndulo (matemáticas) Ilustración de un péndulo Linealizaciones de un péndulo

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo bajo la influencia de la gravedad. Usando la mecánica de Lagrange, se puede demostrar que el movimiento de un péndulo se puede describir mediante la ecuación adimensional no lineal

$$ D 2 θ D t 2+pecado⁡(θ)=0 {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + \ sin (\ theta) = 0}

donde la gravedad apunta "hacia abajo" y es el ángulo que forma el péndulo con su posición de reposo, como se muestra en la figura de la derecha. Un enfoque para "resolver" esta ecuación es utilizarla como factor integrador, que eventualmente produciría $$

θ {\ Displaystyle \ theta}$$Dθ /Dt {\ Displaystyle d \ theta / dt}

$$∫ D θ C 0 + 2 porque ⁡ ( θ )=t+ C 1 {\ Displaystyle \ int {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {C_ {0} +2 \ cos (\ theta)}}} = t + C_ {1}}

que es una solución implícita que involucra una integral elíptica. Esta "solución" generalmente no tiene muchos usos porque la mayor parte de la naturaleza de la solución está oculta en la integral no elemental (a menos que no sea elemental). $$

C 0=2 {\ Displaystyle C_ {0} = 2}

Otra forma de abordar el problema es linealizar las no linealidades (el término de la función seno en este caso) en los diversos puntos de interés a través de expansiones de Taylor. Por ejemplo, la linealización en, llamada aproximación de ángulo pequeño, es $$

θ=0 {\ Displaystyle \ theta = 0}

$$ D 2 θ D t 2+θ=0 {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + \ theta = 0}

desde para. Este es un oscilador armónico simple correspondiente a las oscilaciones del péndulo cerca de la parte inferior de su trayectoria. Otra linealización estaría en, correspondiente a que el péndulo esté recto hacia arriba: $$

pecado⁡(θ)≈θ {\ Displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ theta}$$θ≈0 {\ Displaystyle \ theta \ approx 0} $$θ=π {\ Displaystyle \ theta = \ pi}

$$ D 2 θ D t 2+π-θ=0 {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + \ pi - \ theta = 0}

desde para. La solución a este problema involucra sinusoides hiperbólicos, y tenga en cuenta que a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, lo que significa que generalmente crecerá sin límite, aunque las soluciones acotadas son posibles. Esto corresponde a la dificultad de equilibrar un péndulo en posición vertical, es literalmente un estado inestable. $$

pecado⁡(θ)≈π-θ {\ Displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ pi - \ theta}$$θ≈π {\ Displaystyle \ theta \ approx \ pi} $$ |θ | {\ Displaystyle | \ theta |}

Es posible una linealización más interesante en torno a la cual: $$

θ=π /2 {\ Displaystyle \ theta = \ pi / 2}$$pecado⁡(θ)≈1 {\ Displaystyle \ sin (\ theta) \ approx 1}

$$ D 2 θ D t 2+1=0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + 1 = 0.}

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando tales linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha. Se pueden utilizar otras técnicas para encontrar retratos de fase (exactos) y períodos aproximados.

Tipos de comportamientos dinámicos no lineales

• Muerte de amplitud : cualquier oscilación presente en el sistema cesa debido a algún tipo de interacción con otro sistema o retroalimentación del mismo sistema.
• Caos : los valores de un sistema no se pueden predecir indefinidamente en el futuro y las fluctuaciones son aperiódicas.
• Multiestabilidad : la presencia de dos o más estados estables.
• Solitones - ondas solitarias autorreforzantes
• Ciclos límite : órbitas periódicas asintóticas a las que se atraen puntos fijos desestabilizados.
• Auto-oscilaciones : oscilaciones de retroalimentación que tienen lugar en sistemas físicos disipativos abiertos.

Ejemplos de ecuaciones no lineales

• Ecuación algebraica de Riccati
• Sistema de bolas y vigas
• Ecuación de Bellman para una política óptima
• Ecuación de Boltzmann
• Ecuación de Colebrook
• Relatividad general
• Teoría de Ginzburg-Landau
• Ecuación de Ishimori
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Korteweg – de Vries
• Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
• Ecuación de Liénard
• Ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes
• Óptica no lineal
• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Estudio de flujo de energía
• Ecuación de Richards para flujo de agua insaturada
• Monociclo autoequilibrado
• Ecuación de Sine-Gordon
• Oscilador Van der Pol
• Ecuación de Vlasov

Ver también

• Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
• Sistema dinámico
• Realimentación
• Condición inicial
• Interacción
• Sistema lineal
• Acoplamiento de modo
• Solitón vectorial
• Serie Volterra

Referencias

Otras lecturas

• Diederich Hinrichsen y Anthony J. Pritchard (2005). Teoría de sistemas matemáticos I - Modelado, análisis del espacio de estados, estabilidad y robustez. Springer Verlag. ISBN   9783540441250.
• Jordan, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN   978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. (2001). Sistemas no lineales. Prentice Hall. ISBN   978-0-13-067389-3.
• Kreyszig, Erwin (1998). Matemáticas avanzadas de ingeniería. Wiley. ISBN   978-0-471-15496-9.
• Sontag, Eduardo (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita. Segunda edición. Saltador. ISBN   978-0-387-98489-6.

enlaces externos

• Programa de investigación de mando y control (CCRP)
• Instituto de sistemas complejos de Nueva Inglaterra: conceptos en sistemas complejos
• Dinámica no lineal I: Caos en OpenCourseWare del MIT
• Biblioteca de modelos no lineales  : (en MATLAB ) una base de datos de sistemas físicos
• El Centro de Estudios No Lineales del Laboratorio Nacional de Los Alamos