Distribución PERT

IMPERTINENTE

Función de densidad de probabilidad Ejemplo de curvas de densidad para la distribución de probabilidad PERT
Función de distribución acumulativa Ejemplo de curvas de distribución acumulada para la distribución de probabilidad PERT
Parámetros	$$Bgt;a {\ Displaystyle bgt; a \,} (real) (real) $$Cgt;B {\ Displaystyle cgt; b \,}
Apoyo	$$X∈[a,C] {\ Displaystyle x \ in [a, c] \,}
PDF	$$ ( X - a ) α - 1 ( C - X ) β - 1 B ( α , β ) ( C - a ) α + β - 1 {\ Displaystyle {\ frac {(xa) ^ {\ alpha -1} (cx) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) (ca) ^ {\ alpha + \ beta -1}}}} dónde $$α= 4 B + C - 5 a C - a=1+4 B - a C - a {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {4b + c-5a} {ca}} = 1 + 4 {\ frac {ba} {ca}}} $$β= 5 C - a - 4 B C - a=1+4 C - B C - a {\ Displaystyle \ beta = {\ frac {5c-a-4b} {ca}} = 1 + 4 {\ frac {cb} {ca}}}
CDF	$$ I z(α,β) {\ Displaystyle I_ {z} (\ alpha, \ beta)} (la función beta incompleta regularizada) con$$z=(X-a) /(C-a) {\ Displaystyle z = (xa) / (ca)}
Significar	$$mi⁡[X]= a + 4 B + C 6=μ {\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = {\ frac {a + 4b + c} {6}} = \ mu}
Mediana	$$ I 1 2 [ - 1 ](α,β)(C-a)+a {\ Displaystyle I _ {\ frac {1} {2}} ^ {[- 1]} (\ alpha, \ beta) (ca) + a} $$≈a+(C-a) α - 1 / 3 α + β - 2 / 3= a + 6 B + C 8 {\ Displaystyle \ approx a + (ca) {\ frac {\ alpha -1/3} {\ alpha + \ beta -2/3}} = {\ frac {a + 6b + c} {8}}}
Modo	$$B {\ Displaystyle b}
Diferencia	$$var⁡[X]= ( μ - a ) ( C - μ ) 7 {\ Displaystyle \ operatorname {var} [X] = {\ frac {(\ mu -a) (c- \ mu)} {7}}}
Oblicuidad	$$ 2 ( β - α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\ Displaystyle {\ frac {2 \, (\ beta - \ alpha) {\ sqrt {\ alpha + \ beta +1}}} {(\ alpha + \ beta +2) {\ sqrt {\ alpha \ beta} }}}}
Ex. curtosis	$$ 6 [ ( α - β ) 2 ( α + β + 1 ) - α β ( α + β + 2 ) ] α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) {\ Displaystyle {\ frac {6 [(\ alpha - \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1) - \ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2)]} {\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2) (\ alpha + \ beta +3)}}}

En probabilidad y estadística, la distribución PERT es una familia de distribuciones de probabilidad continuas definidas por los valores mínimo (a), más probable (b) y máximo (c) que puede tomar una variable. Es una transformación de la distribución Beta de cuatro parámetros con un supuesto adicional de que su valor esperado es

$$μ= a + 4 B + C 6. {\ Displaystyle \ mu = {\ frac {a + 4b + c} {6}}.}

Por tanto, la media de la distribución se define como la media ponderada de los valores mínimo, más probable y máximo que puede tomar la variable, con cuatro veces la ponderación aplicada al valor más probable. Esta suposición sobre la media se propuso por primera vez en Clark, 1962 para estimar el efecto de la incertidumbre de la duración de las tareas sobre el resultado de la programación de un proyecto que se evalúa utilizando la técnica de evaluación y revisión de programas, de ahí su nombre. Las matemáticas de la distribución resultaron del deseo de los autores de hacer que la desviación estándar sea igual a aproximadamente 1/6 del rango. La distribución PERT se usa ampliamente en el análisis de riesgo para representar la incertidumbre del valor de alguna cantidad cuando uno se basa en estimaciones subjetivas, porque los tres parámetros que definen la distribución son intuitivos para el estimador. La distribución PERT se incluye en la mayoría de las herramientas de software de simulación.

Comparación con la distribución triangular

Comparación de curvas de densidad para las distribuciones de probabilidad PERT y triangular

La distribución PERT ofrece una alternativa al uso de la distribución triangular que toma los mismos tres parámetros. La distribución PERT tiene una forma más suave que la distribución triangular. La distribución triangular tiene una media igual a la media de los tres parámetros:

$$μ= a + B + C 3 {\ Displaystyle \ mu = {\ frac {a + b + c} {3}}}

La fórmula pone el mismo énfasis en los valores extremos que generalmente son menos conocidos que el valor más probable y, por lo tanto, pueden verse indebidamente influenciados por una estimación deficiente de un extremo. La distribución triangular también tiene una forma angular que no coincide con la forma más suave que tipifica el conocimiento subjetivo:

La distribución PERT modificada

Comparación de curvas de densidad para las distribuciones PERT modificadas con diferentes pesos

La distribución PERT asigna una probabilidad muy pequeña a los valores extremos, particularmente al extremo más alejado del valor más probable si la distribución está fuertemente sesgada. Se propuso la distribución PERT modificada para proporcionar más control sobre cuánta probabilidad se asigna a los valores de cola de la distribución. El PERT modificado introduce un cuarto parámetro que controla el peso del valor más probable en la determinación de la media: $$

γ, {\ Displaystyle \ gamma,}

$$μ= a + γ B + C γ + 2 {\ Displaystyle \ mu = {\ frac {a + \ gamma b + c} {\ gamma +2}}}

Normalmente, los valores entre 2 y 3,5 se utilizan y tienen el efecto de aplanar la curva de densidad. Esto es útil para distribuciones muy sesgadas donde las distancias y son de tamaños muy diferentes. $$

γ, {\ Displaystyle \ gamma,}$$(B-a), {\ Displaystyle (ba),}$$(C-B), {\ Displaystyle (cb),}

La distribución PERT modificada se ha implementado en varios paquetes de simulación y lenguajes de programación:

• ModelRisk: complemento de análisis de riesgos para Excel.
• Primavera análisis de riesgos - herramienta de simulación de análisis de riesgos de proyectos.
• Tamara - herramienta de simulación de análisis de riesgos de proyectos.
• Wolfram Mathematica - programa de cálculo simbólico matemático.
• R (lenguaje de programación) : paquete mc2d.
• Python (lenguaje de programación) : paquete pertdist.

Referencias