Ventilador de expansión Prandtl – Meyer

Cuando un flujo supersónico encuentra una esquina convexa, forma un abanico de expansión, que consiste en un número infinito de ondas de expansión centradas en la esquina. La figura muestra uno de esos ventiladores de expansión ideales.

Un ventilador de expansión supersónico, técnicamente conocido como ventilador de expansión de Prandtl-Meyer, una onda simple bidimensional, es un proceso de expansión centrado que ocurre cuando un flujo supersónico gira alrededor de una esquina convexa. El abanico consta de un número infinito de ondas Mach, que divergen de una esquina afilada. Cuando un flujo gira alrededor de una esquina circular y suave, estas ondas pueden extenderse hacia atrás para encontrarse en un punto.

Cada ola en el ventilador de expansión hace girar el flujo gradualmente (en pequeños pasos). Es físicamente imposible que el flujo gire a través de una sola onda de "choque" porque esto violaría la segunda ley de la termodinámica.

A través del ventilador de expansión, el flujo se acelera (la velocidad aumenta) y el número de Mach aumenta, mientras que la presión estática, la temperatura y la densidad disminuyen. Dado que el proceso es isentrópico, las propiedades de estancamiento (por ejemplo, la presión total y la temperatura total) permanecen constantes en todo el ventilador.

La teoría fue descrita por Theodor Meyer en su disertación de tesis en 1908, junto con su asesor Ludwig Prandtl, quien ya había discutido el problema un año antes.

• 1 Propiedades de flujo
• 2 Ángulo de giro máximo
• 3 notas
• 4 Ver también
• 5 referencias
• 6 Enlaces externos

Propiedades de flujo

El ventilador de expansión consta de un número infinito de ondas de expansión o líneas de Mach. La primera línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección del flujo y la última línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección del flujo final. Dado que el flujo gira en pequeños ángulos y los cambios en cada onda de expansión son pequeños, todo el proceso es isoentrópico. Esto simplifica significativamente los cálculos de las propiedades del flujo. Dado que el flujo es isentrópico, las propiedades de estancamiento como la presión de estancamiento (), la temperatura de estancamiento () y la densidad de estancamiento () permanecen constantes. Las propiedades estáticas finales son una función del número de Mach de flujo final () y se pueden relacionar con las condiciones de flujo inicial de la siguiente manera, donde es la relación de capacidad calorífica del gas (1,4 para el aire): $$

μ 1=arcos⁡ ( 1 METRO 1 ) {\ Displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {1}}} \ right)}$$ μ 2=arcos⁡ ( 1 METRO 2 ) {\ Displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {2}}} \ right)} $$ pag 0 {\ Displaystyle p_ {0}} $$ T 0 {\ Displaystyle T_ {0}}$$ ρ 0 {\ Displaystyle \ rho _ {0}}$$ METRO 2 {\ Displaystyle M_ {2}}$$γ {\ Displaystyle \ gamma}

$$ T 2 T 1 = ( 1 + γ - 1 2 METRO 1 2 1 + γ - 1 2 METRO 2 2 ) pag 2 pag 1 = ( 1 + γ - 1 2 METRO 1 2 1 + γ - 1 2 METRO 2 2 ) γ γ - 1 ρ 2 ρ 1 = ( 1 + γ - 1 2 METRO 1 2 1 + γ - 1 2 METRO 2 2 ) 1 γ - 1 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} amp; = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) \\ [3pt] {\ frac {p_ {2} } {p_ {1}}} amp; = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \\ [3pt] {\ frac {\ rho _ {2} } {\ rho _ {1}}} amp; = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac { \ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}. \ end {alineado}}}

El número de Mach después del giro () está relacionado con el número de Mach inicial () y el ángulo de giro () por, $$

METRO 2 {\ Displaystyle M_ {2}}$$ METRO 1 {\ Displaystyle M_ {1}}$$θ {\ Displaystyle \ theta}

$$θ=ν( METRO 2)-ν( METRO 1) {\ Displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1}) \,}

donde, es la función de Prandtl-Meyer. Esta función determina el ángulo a través del cual un flujo sónico ( M = 1) debe girar para alcanzar un número de Mach particular (M). Matemáticamente, $$

ν(METRO) {\ Displaystyle \ nu (M) \,}

$$ ν ( METRO ) = ∫ METRO 2 - 1 1 + γ - 1 2 METRO 2 D METRO METRO = γ + 1 γ - 1 arctan ⁡ γ - 1 γ + 1 ( METRO 2 - 1 ) - arctan ⁡ METRO 2 - 1 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nu (M) amp; = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\, dM} {M}} \\ amp; = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{ \ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1}} \ left (M ^ {2} -1 \ right)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}. \\\ final {alineado}}}

Por convención, $$

ν(1)=0. {\ Displaystyle \ nu (1) = 0. \,}

Por lo tanto, dado el número de Mach inicial (), se puede calcular y utilizando el ángulo de giro encontrar. A partir del valor de uno se puede obtener el número de Mach final () y las otras propiedades de flujo. $$

METRO 1 {\ Displaystyle M_ {1}}$$ν( METRO 1) {\ Displaystyle \ nu (M_ {1}) \,}$$ν( METRO 2) {\ Displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$$ν( METRO 2) {\ Displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$$ METRO 2 {\ Displaystyle M_ {2}}

Ángulo de giro máximo

Existe un límite en el ángulo máximo () a través del cual puede girar un flujo supersónico.$$ θ max {\ Displaystyle \ theta _ {\ text {max}}}

Como el número de Mach varía de 1 a, toma valores de 0 a, donde $$

∞ {\ Displaystyle \ infty}$$ν {\ Displaystyle \ nu \,}$$ ν max {\ Displaystyle \ nu _ {\ text {max}} \,}

$$ ν max= π 2 ( γ + 1 γ - 1 - 1 ). {\ Displaystyle \ nu _ {\ text {max}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \derecho).}

Esto pone un límite a cuánto puede pasar un flujo supersónico, con el ángulo de giro máximo dado por,

$$ θ max= ν max-ν( METRO 1). {\ Displaystyle \ theta _ {\ text {max}} = \ nu _ {\ text {max}} - \ nu (M_ {1}). \,}

También se puede ver de la siguiente manera. Un flujo tiene que girar para poder satisfacer las condiciones de contorno. En un flujo ideal, hay dos tipos de condiciones de contorno que el flujo debe satisfacer,

1. Condición de límite de velocidad, que dicta que el componente de la velocidad de flujo normal a la pared sea cero. También se conoce como condición de límite de no penetración.
2. Condición de límite de presión, que establece que no puede haber una discontinuidad en la presión estática dentro del flujo (ya que no hay choques en el flujo).

Si el flujo gira lo suficiente como para volverse paralelo a la pared, no debemos preocuparnos por la condición de límite de presión. Sin embargo, a medida que el flujo gira, su presión estática disminuye (como se describió anteriormente). Si no hay suficiente presión para empezar, el flujo no podrá completar el giro y no será paralelo a la pared. Esto se muestra como el ángulo máximo a través del cual puede girar un flujo. Cuanto menor sea el número de Mach para comenzar (es decir, pequeño), mayor será el ángulo máximo a través del cual puede girar el flujo. $$

METRO 1 {\ Displaystyle M_ {1}}

La línea de corriente que separa la dirección del flujo final y la pared se conoce como corriente de deslizamiento (que se muestra como la línea discontinua en la figura). A través de esta línea hay un salto en la temperatura, densidad y componente tangencial de la velocidad (el componente normal es cero). Más allá de la estela, el flujo está estancado (lo que satisface automáticamente la condición de límite de velocidad en la pared). En caso de flujo real, se observa una capa de cizallamiento en lugar de una corriente de deslizamiento, debido a la condición de límite de no deslizamiento adicional.

Notas

1. ^ ^{a b} Un proceso de expansión a través de un solo "choque" es imposible, porque violará la segunda ley de la termodinámica.

   Imposibilidad de expandir un flujo a través de una sola onda de "choque": considere el escenario que se muestra en la figura adyacente. A medida que gira un flujo supersónico, el componente normal de la velocidad aumenta (), mientras que el componente tangencial permanece constante (). El cambio correspondiente es la entropía () se puede expresar de la siguiente manera, $$

   w 2gt; w 1 {\ Displaystyle w_ {2}gt; w_ {1}}$$ v 2= v 1 {\ Displaystyle v_ {2} = v_ {1}}$$Δs= s 2- s 1 {\ Displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}

   $$ Δ s R = en ⁡ [ ( pag 2 pag 1 ) 1 γ - 1 ( ρ 2 ρ 1 ) - γ γ - 1 ] ≈ γ + 1 12 γ 2 ( pag 2 - pag 1 pag 1 ) 3 ≈ γ + 1 12 γ 2 [ ρ 1 w 1 2 pag 1 ( 1 - w 2 w 1 ) ] 3 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ Delta s} {R}} amp; = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}} \ right] \\ amp; \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ({\ frac {p_ {2} -p_ {1 }} {p_ {1}}} \ right) ^ {3} \\ amp; \ approx {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left [{\ frac {\ rho _ {1} w_ {1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ left (1 - {\ frac {w_ {2}} {w_ {1}}} \ right) \ right] ^ {3} \ end {alineado}}}

   donde, es la constante universal del gas, es la relación de capacidades caloríficas específicas, es la densidad estática, es la presión estática, es la entropía y es el componente de la velocidad de flujo normal al "choque". El sufijo "1" y "2" se refieren a las condiciones iniciales y finales, respectivamente. $$

   R {\ Displaystyle R}$$γ {\ Displaystyle \ gamma}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}$$pag {\ Displaystyle p}$$s {\ Displaystyle s}$$w {\ Displaystyle w}

   Ya que, esto significaría eso. Dado que esto no es posible, significa que es imposible convertir un flujo a través de una sola onda de choque. El argumento puede extenderse aún más para mostrar que tal proceso de expansión puede ocurrir solo si consideramos un giro a través de un número infinito de ondas de expansión en el límite. En consecuencia, un proceso de expansión es un proceso isentrópico. $$

   w 2gt; w 1 {\ Displaystyle w_ {2}gt; w_ {1}}$$Δslt;0 {\ Displaystyle \ Delta s lt;0}$$Δs→0 {\ Displaystyle \ Delta s \ rightarrow 0}

2. ^ Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (tesis doctoral) (en alemán). Georg-August Universität, Göttingen. OCLC   77709738.
3. ^ Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (en alemán). 8: 23-30.Reimpreso en Riegels, FW, ed. (1961). Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Berlín: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78.
4. ^ Para un objeto que se mueve a velocidades supersónicas () a medida que se mueve del punto A al B (distancia u t), las perturbaciones que se originan en el punto A recorren una distancia c t. El ángulo correspondiente se conoce como ángulo de Mach y las líneas que encierran la región perturbada se conocen como líneas de Mach (en el caso 2-D) o cono de Mach (en 3-D).$$tugt;C {\ Displaystyle ugt; c} Líneas de Mach (cono) y ángulo de Mach:

   Las líneas de Mach son un concepto que se encuentra generalmente en flujos supersónicos bidimensionales (es decir). Son un par de líneas delimitadas que separan la región de flujo perturbado de la parte no perturbada del flujo. Estas líneas ocurren en pares y están orientadas en ángulo. $$

   METRO≥1 {\ Displaystyle M \ geq 1}

   $$μ=arcos⁡ ( C tu )=arcos⁡ ( 1 METRO ) {\ Displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}

   con respecto a la dirección del movimiento (también conocido como ángulo de Mach). En el caso del campo de flujo 3-D, estas líneas forman una superficie conocida como cono de Mach, con el ángulo de Mach como la mitad del ángulo del cono.

   Para comprender mejor el concepto, considere el caso esbozado en la figura. Sabemos que cuando un objeto se mueve en un flujo, provoca perturbaciones de presión (que viajan a la velocidad del sonido, también conocidas como ondas Mach ). La figura muestra un objeto que se mueve del punto A al B a lo largo de la línea AB a velocidades supersónicas (). Para cuando el objeto alcanza el punto B, las perturbaciones de presión desde el punto A han recorrido una distancia c t y ahora están en la circunferencia del círculo (con el centro en el punto A). Hay infinitos círculos de este tipo con su centro en la línea AB, cada uno de los cuales representa la ubicación de las perturbaciones debidas al movimiento del objeto. Las líneas que se propagan hacia afuera desde el punto B y tangentes a todos estos círculos se conocen como líneas de Mach. $$

   tugt;C {\ Displaystyle ugt; c}

   Nota: Estos conceptos tienen un significado físico solo para flujos supersónicos (). En el caso de flujos subsónicos, las perturbaciones viajarán más rápido que la fuente y el argumento de la función será mayor que uno. $$

   tu≥C {\ Displaystyle u \ geq c}$$arcos⁡() {\ Displaystyle \ arcsin ()}

Ver también

• Dinámica de gases
• Onda de Mach
• Choque oblicuo
• Onda de choque
• Técnica del gráfico de sombras
• Fotografía Schlieren
• estampido supersónico

Referencias

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. (2001) [1957]. Elementos de Gasdinámica. Publicaciones de Dover. ISBN   0-486-41963-0.
• Von Mises, Richard (2004) [1958]. Teoría matemática del flujo de fluidos compresibles. Publicaciones de Dover. ISBN   0-486-43941-0.
• Courant, Richard; Friedrichs, KO (1999) [1948]. Flujo supersónico y ondas de choque. Springer Science + Business Media. ISBN   0387902325.
• Anderson, John D. Jr. (enero de 2001) [1984]. Fundamentos de Aerodinámica (3ª ed.). Ciencias / Ingeniería / Matemáticas de McGraw-Hill. ISBN   0-07-237335-0.
• Shapiro, Ascher H. (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de fluido compresible, volumen 1. Prensa de Ronald. ISBN   978-0-471-06691-0.

enlaces externos

• Ventilador de expansión ( NASA )
• Calculadora de ventilador de expansión Prandtl-Meyer ( subprograma Java ).