Spin (física)

Este artículo trata sobre el espín en la mecánica cuántica. Para la rotación en mecánica clásica, consulte Momento angular.

El giro es una forma intrínseca de momento angular transportado por partículas elementales y, por lo tanto, por partículas compuestas ( hadrones ) y núcleos atómicos.

El giro es uno de los dos tipos de momento angular en mecánica cuántica, el otro es el momento angular orbital. El operador del momento angular orbital es la contraparte de la mecánica cuántica del momento angular clásico de la revolución orbital y aparece cuando hay una estructura periódica en su función de onda a medida que varía el ángulo. Para los fotones, el espín es la contraparte mecánica cuántica de la polarización de la luz; para los electrones, el espín no tiene una contraparte clásica.

La existencia de un momento angular de espín de electrones se infiere de experimentos, como el experimento de Stern-Gerlach, en el que se observó que los átomos de plata poseían dos posibles momentos angulares discretos a pesar de no tener un momento angular orbital. La existencia del espín del electrón también se puede inferir teóricamente del teorema de espín-estadística y del principio de exclusión de Pauli ; y viceversa, dado el espín particular del electrón, se puede derivar el principio de exclusión de Pauli.

Spin se describe matemáticamente como un vector para algunas partículas, como los fotones, y como espinores y bispinos para otras partículas, como los electrones. Los espinores y bispinores se comportan de manera similar a los vectores : tienen magnitudes definidas y cambian con las rotaciones; sin embargo, utilizan una "dirección" poco convencional. Todas las partículas elementales de un tipo determinado tienen la misma magnitud de momento angular de giro, aunque su dirección puede cambiar. Estos se indican asignando a la partícula un número cuántico de espín.

La unidad SI de giro es el mismo que el momento angular clásica (es decir, N m s o Js o kg m ² s ^-1). En la práctica, el espín se da como un número cuántico de espín adimensional dividiendo el momento angular de espín por la constante de Planck reducida ħ, que tiene las mismas dimensiones que el momento angular, aunque este no es el cálculo completo de este valor. Muy a menudo, el "número cuántico de espín" se llama simplemente "espín". El hecho de que sea un número cuántico está implícito.

• 1 Historia
• 2 Número cuántico
  • 2.1 Fermiones y bosones
  • 2.2 Teorema de estadística de espín
  • 2.3 Relación con la rotación clásica
• 3 momentos magnéticos
• 4 Temperatura de Curie y pérdida de alineación
• 5 dirección
  • 5.1 Número cuántico y multiplicidad de proyección de espín
  • 5.2 Vector
• 6 Formulación matemática
  • 6.1 Operador
  • 6.2 matrices de Pauli
  • 6.3 Principio de exclusión de Pauli
  • 6.4 Rotaciones
  • 6.5 transformaciones de Lorentz
  • 6.6 Medición del giro a lo largo de los ejes x, y o z
  • 6.7 Medición del giro a lo largo de un eje arbitrario
  • 6.8 Compatibilidad de las medidas de giro
  • 6.9 Giros más altos
• 7 Paridad
• 8 aplicaciones
• 9 Historia
• 10 Véase también
• 11 referencias
• 12 Lecturas adicionales
• 13 Enlaces externos

Historia

Wolfgang Pauli en 1924 fue el primero en proponer una duplicación del número de estados electrónicos disponibles debido a una "rotación oculta" no clásica de dos valores. En 1925, George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden sugirieron la interpretación física simple de una partícula que gira alrededor de su propio eje, en el espíritu de la antigua teoría cuántica de Bohr y Sommerfeld. Ralph Kronig anticipó el modelo Uhlenbeck-Goudsmit en una discusión con Hendrik Kramers varios meses antes en Copenhague, pero no lo publicó. La teoría matemática fue desarrollada en profundidad por Pauli en 1927. Cuando Paul Dirac derivó su mecánica cuántica relativista en 1928, el espín del electrón era una parte esencial de ella.

Número cuántico

Artículo principal: Spin número cuántico

Como sugiere el nombre, el giro se concibió originalmente como la rotación de una partícula alrededor de algún eje. Si bien la cuestión de si las partículas elementales realmente giran es ambigua (ya que parecen puntuales ), esta imagen es correcta en la medida en que el espín obedece a las mismas leyes matemáticas que los momentos angulares cuantificados ; en particular, el giro implica que la fase de la partícula cambia con el ángulo. Por otro lado, el espín tiene algunas propiedades peculiares que lo distinguen de los momentos angulares orbitales:

• Los números cuánticos de espín pueden tomar valores de medio entero.
• Aunque se puede cambiar la dirección de su giro, no se puede hacer que una partícula elemental gire más rápido o más lento.
• El giro de una partícula cargada está asociado con un momento dipolar magnético con un factor g diferente de 1. Esto podría ocurrir clásicamente solo si la carga interna de la partícula se distribuyera de manera diferente a su masa.

La definición convencional del número cuántico de espín es s = norte/2, donde n puede ser cualquier número entero no negativo. Por tanto, los valores permitidos de s son 0, 1/2, 1, 3/2, 2, etc. El valor de s para una partícula elemental depende solo del tipo de partícula y no se puede alterar de ninguna manera conocida (en contraste con la dirección de giro que se describe a continuación). Se cuantifica el momento angular de espín S de cualquier sistema físico. Los valores permitidos de S son

$$S=ℏ s ( s + 1 )= h 4 π norte ( norte + 2 ), {\ Displaystyle S = \ hbar \, {\ sqrt {s (s + 1)}} = {\ frac {h} {4 \ pi}} \, {\ sqrt {n (n + 2)}},}

donde h es la constante de Planck, y = $$

ℏ {\ Displaystyle \ hbar}h/2πes la constante de Planck reducida. Por el contrario, el momento angular orbital solo puede tomar valores enteros de s ; es decir, valores pares de n.

Fermiones y bosones

Aquellas partículas con giros de medio entero, como 1/2, 3/2, 5/2, se conocen como fermiones, mientras que las partículas con espines enteros, como 0, 1, 2, se conocen como bosones. Las dos familias de partículas obedecen reglas diferentes y, en general, tienen roles diferentes en el mundo que nos rodea. Una distinción clave entre las dos familias es que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli : es decir, no puede haber dos fermiones idénticos que tengan simultáneamente los mismos números cuánticos (es decir, aproximadamente, que tengan la misma posición, velocidad y dirección de giro). Los fermiones obedecen las reglas de las estadísticas de Fermi-Dirac. Por el contrario, los bosones obedecen las reglas de las estadísticas de Bose-Einstein y no tienen tal restricción, por lo que pueden "agruparse" en estados idénticos. Además, las partículas compuestas pueden tener espines diferentes de las partículas que las componen. Por ejemplo, un átomo de helio-4 en el estado fundamental tiene espín 0 y se comporta como un bosón, aunque los quarks y electrones que lo componen son todos fermiones.

Esto tiene algunas consecuencias profundas:

• Los quarks y leptones (incluidos electrones y neutrinos ), que componen lo que se conoce clásicamente como materia, son todos fermiones con espín. 1/2. La idea común de que "la materia ocupa espacio" en realidad proviene del principio de exclusión de Pauli que actúa sobre estas partículas para evitar que los fermiones estén en el mismo estado cuántico. Una mayor compactación requeriría que los electrones ocupen los mismos estados de energía y, por lo tanto, un tipo de presión (a veces conocida como presión de degeneración de los electrones ) actúa para resistir que los fermiones estén demasiado cerca.

Fermiones elementales con otros giros (3/2, 5/2, etc.) no se sabe que existan.

• Las partículas elementales que se consideran portadoras de fuerzas son todos bosones con espín 1. Incluyen el fotón, que lleva la fuerza electromagnética, el gluón ( fuerza fuerte ) y los bosones W y Z ( fuerza débil ). La capacidad de los bosones para ocupar el mismo estado cuántico se utiliza en el láser, que alinea muchos fotones que tienen el mismo número cuántico (la misma dirección y frecuencia), helio líquido superfluido resultante de que los átomos de helio-4 sean bosones y superconductividad, donde los pares de electrones (que individualmente son fermiones) actúan como bosones compuestos únicos.

Históricamente no se conocía la existencia de bosones elementales con otros espines (0, 2, 3, etc.), aunque han recibido un tratamiento teórico considerable y están bien establecidos dentro de sus respectivas teorías convencionales. En particular, los teóricos han propuesto el gravitón (que se predice que existe por algunas teorías de la gravedad cuántica ) con espín 2 y el bosón de Higgs (que explica la ruptura de la simetría electrodébil ) con espín 0. Desde 2013, se ha demostrado que el bosón de Higgs con espín 0 existe. Es la primera partícula elemental escalar (spin 0) que se sabe que existe en la naturaleza.

• Los núcleos atómicos tienen un espín nuclear que puede ser medio entero o entero, de modo que los núcleos pueden ser fermiones o bosones.

Teorema de estadística de espín

Artículo principal: teorema de espín-estadística

El teorema de la estadística de espín divide las partículas en dos grupos: bosones y fermiones, donde los bosones obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein y los fermiones obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac (y por lo tanto, el principio de exclusión de Pauli ). Específicamente, la teoría establece que las partículas con un espín entero son bosones, mientras que todas las demás partículas tienen espines medio enteros y son fermiones. Por ejemplo, los electrones tienen espín medio entero y son fermiones que obedecen al principio de exclusión de Pauli, mientras que los fotones tienen espín entero y no. El teorema se basa tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad especial, y esta conexión entre el espín y la estadística se ha denominado "una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la relatividad especial".

Relación con la rotación clásica

Dado que las partículas elementales tienen forma de puntos, la autorrotación no está bien definida para ellas. Sin embargo, giro implica que la fase de la partícula depende del ángulo que, para la rotación de θ ángulo alrededor del eje paralelo al giro S. Esto es equivalente a la interpretación de la mecánica cuántica del momento como dependencia de fase en la posición, y del momento angular orbital como dependencia de fase en la posición angular. $$

mi I S θ {\ Displaystyle e ^ {es \ theta}}

El espín del fotón es la descripción de la mecánica cuántica de la polarización de la luz, donde el espín +1 y el espín -1 representan dos direcciones opuestas de polarización circular. Por lo tanto, la luz de una polarización circular definida consta de fotones con el mismo espín, todos +1 o todos -1. Spin también representa la polarización para otros bosones vectoriales.

Para los fermiones, la imagen es menos clara. La velocidad angular es igual por Ehrenfest teorema de la derivada de la hamiltoniano a su momento conjugado, que es el total operador momento angular J = L + S. Por lo tanto, si el hamiltoniano H depende del espín S, dH / dS no es cero y el espín causa velocidad angular y, por lo tanto, rotación real, es decir, un cambio en la relación de ángulo de fase a lo largo del tiempo. Sin embargo, si esto se cumple para el electrón libre es ambiguo, ya que para un electrón, S ² es constante y, por lo tanto, es una cuestión de interpretación si el hamiltoniano incluye tal término. Sin embargo, vuelta aparece en la ecuación de Dirac, y por lo tanto el hamiltoniano relativista del electrón, tratado como un campo de Dirac, puede ser interpretado como incluyendo una dependencia en el spin S. Según esta interpretación, los electrones libres también rotan automáticamente, entendiendo el efecto Zitterbewegung como esta rotación.

Momentos magnéticos

Artículo principal: Momento magnético de giro Diagrama esquemático que muestra el giro del neutrón como la flecha negra y las líneas del campo magnético asociadas con el momento magnético del neutrón. El neutrón tiene un momento magnético negativo. Mientras que el giro del neutrón es hacia arriba en este diagrama, las líneas del campo magnético en el centro del dipolo están hacia abajo.

Las partículas con espín pueden poseer un momento dipolar magnético, al igual que un cuerpo cargado eléctricamente en rotación en la electrodinámica clásica. Estos momentos magnéticos se pueden observar experimentalmente de varias formas, por ejemplo, mediante la desviación de partículas por campos magnéticos no homogéneos en un experimento de Stern-Gerlach, o midiendo los campos magnéticos generados por las propias partículas.

El momento magnético intrínseco μ de un espín-1/2 partícula con carga q, masa m y momento angular de espín S, es

$$ μ= gramo s q 2 metro S, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = {\ frac {g_ {s} q} {2m}} \ mathbf {S},}

donde la cantidad adimensional g s se llama factor de giro g. Para rotaciones exclusivamente orbitales sería 1 (asumiendo que la masa y la carga ocupan esferas de igual radio).

El electrón, al ser una partícula elemental cargada, posee un momento magnético distinto de cero. Uno de los triunfos de la teoría de la electrodinámica cuántica es su predicción precisa del factor g del electrón, que se ha determinado experimentalmente que tiene el valor−2,002 319 304 362 56 (35), con los dígitos entre paréntesis indicando la incertidumbre de la medición en los dos últimos dígitos con una desviación estándar. El valor de 2 surge de la ecuación de Dirac, una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas, y la corrección de0.002 319 304... surge de la interacción del electrón con el campo electromagnético circundante, incluido su propio campo.

Las partículas compuestas también poseen momentos magnéticos asociados con su giro. En particular, el neutrón posee un momento magnético distinto de cero a pesar de ser eléctricamente neutro. Este hecho fue una indicación temprana de que el neutrón no es una partícula elemental. De hecho, está formado por quarks, que son partículas cargadas eléctricamente. El momento magnético del neutrón proviene de los giros de los quarks individuales y sus movimientos orbitales.

Los neutrinos son tanto elementales como eléctricamente neutros. El modelo estándar mínimamente extendido que tiene en cuenta masas de neutrinos distintas de cero predice momentos magnéticos de neutrinos de:

$$ μ ν≈3× 10 - 19 μ B metro ν eV, {\ Displaystyle \ mu _ {\ nu} \ aproximadamente 3 \ times 10 ^ {- 19} \ mu _ {\ text {B}} {\ frac {m _ {\ nu}} {\ text {eV}}}, }

donde μ ν son los momentos magnéticos de los neutrinos, m ν son las masas de los neutrinos y μ B es el magnetón de Bohr. Sin embargo, la nueva física por encima de la escala electrodébil podría conducir a momentos magnéticos de neutrinos significativamente más altos. Se puede demostrar de una manera independiente del modelo que los momentos magnéticos de los neutrinos mayores de aproximadamente ^10-14 μ B son "antinaturales" porque también conducirían a grandes contribuciones radiativas a la masa del neutrino. Dado que se sabe que las masas de neutrinos son como máximo alrededor de 1 eV, las grandes correcciones radiativas tendrían que ser "ajustadas" para cancelarse entre sí, en gran medida, y dejar pequeña la masa de neutrinos. La medición de los momentos magnéticos de los neutrinos es un área activa de investigación. Los resultados experimentales han puesto el momento magnético del neutrino en menos de1.2 × 10 ⁻¹⁰  veces el momento magnético del electrón.

Por otro lado, las partículas elementales con espín pero sin carga eléctrica, como un fotón o un bosón Z, no tienen momento magnético.

Temperatura de Curie y pérdida de alineación

En los materiales ordinarios, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales producen campos magnéticos que se cancelan entre sí, porque cada dipolo apunta en una dirección aleatoria, siendo el promedio general muy cercano a cero. Los materiales ferromagnéticos por debajo de su temperatura de Curie, sin embargo, exhiben dominios magnéticos en los que los momentos dipolares atómicos están alineados localmente, produciendo un campo magnético macroscópico distinto de cero del dominio. Estos son los "imanes" ordinarios con los que todos estamos familiarizados.

En los materiales paramagnéticos, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean espontáneamente con un campo magnético aplicado externamente. En los materiales diamagnéticos, por otro lado, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean espontáneamente de manera opuesta a cualquier campo magnético aplicado externamente, incluso si requiere energía para hacerlo.

El estudio del comportamiento de tales " modelos de espín " es un área de investigación próspera en la física de la materia condensada. Por ejemplo, el modelo de Ising describe espines (dipolos) que tienen solo dos estados posibles, arriba y abajo, mientras que en el modelo de Heisenberg el vector de espín puede apuntar en cualquier dirección. Estos modelos tienen muchas propiedades interesantes, que han dado lugar a resultados interesantes en la teoría de las transiciones de fase.

Dirección

Más información: operador de momento angular

Número cuántico y multiplicidad de proyección de espín

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula posee no solo una magnitud (qué tan rápido gira el cuerpo), sino también una dirección (hacia arriba o hacia abajo en el eje de rotación de la partícula). El giro mecánico-cuántico también contiene información sobre la dirección, pero en una forma más sutil. La mecánica cuántica establece que el componente del momento angular para un spin- s de partícula medido a lo largo de cualquier dirección sólo puede tomar los valores

$$ S I=ℏ s I, s I∈{-s,-(s-1),...,s-1,s}, {\ Displaystyle S_ {i} = \ hbar s_ {i}, \ quad s_ {i} \ in \ {- s, - (s-1), \ dots, s-1, s \},}

donde S i es el componente de espín a lo largo del i -ésimo eje (ya sea x, y, o z), s i es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del i -ésimo eje, y s es el número cuántico de espín principal (discutido en el sección previa). Convencionalmente, la dirección elegida es el  eje z:

$$ S z=ℏ s z, s z∈{-s,-(s-1),...,s-1,s}, {\ Displaystyle S_ {z} = \ hbar s_ {z}, \ quad s_ {z} \ in \ {- s, - (s-1), \ dots, s-1, s \},}

donde S z es el componente de espín a lo largo del  eje z, s z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del  eje z.

Se puede ver que hay 2 s + 1 valores posibles de s z. El número " 2 s + 1 " es la multiplicidad del sistema de giro. Por ejemplo, solo hay dos valores posibles para un spin-1/2 partícula: s z = +1/2y s z = -1/2. Estos corresponden a estados cuánticos en los que el componente de giro apunta en las direcciones + zo - z respectivamente, y a menudo se denominan "giro hacia arriba" y "giro hacia abajo". Para un giro-3/2partícula, como un barión delta, los valores posibles son +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Vector

Un solo punto en el espacio puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de una rotación de 360 ​​grados, la espiral cambia entre las orientaciones en sentido horario y antihorario. Se vuelve a su configuración original después de girar un completo 720 °.

Para un determinado estado cuántico, se podría pensar en un vector de espín cuyos componentes son los valores esperados de los componentes de giro a lo largo de cada eje, es decir,. Este vector describiría entonces la "dirección" en la que apunta el giro, correspondiente al concepto clásico de eje de rotación. Resulta que el vector de espín no es muy útil en los cálculos de la mecánica cuántica reales, porque no se puede medir directamente: s x, s y y s z no pueden poseer valores definidos simultáneos, debido a una relación de incertidumbre cuántica entre ellos. Sin embargo, para colecciones estadísticamente grandes de partículas que se han colocado en el mismo estado cuántico puro, como mediante el uso de un aparato de Stern-Gerlach, el vector de espín tiene un significado experimental bien definido: especifica la dirección en el espacio ordinario. en el que se debe orientar un detector posterior para lograr la máxima probabilidad posible (100%) de detectar cada partícula de la colección. Para girar$$

⟨S⟩ {\ textstyle \ langle S \ rangle} $$⟨S⟩=[⟨ S X⟩,⟨ S y⟩,⟨ S z⟩] {\ textstyle \ langle S \ rangle = [\ langle S_ {x} \ rangle, \ langle S_ {y} \ rangle, \ langle S_ {z} \ rangle]} 1/2 partículas, esta probabilidad disminuye suavemente a medida que aumenta el ángulo entre el vector de espín y el detector, hasta que en un ángulo de 180 °, es decir, para detectores orientados en la dirección opuesta al vector de espín, la expectativa de detectar partículas de la colección alcanza un mínimo del 0%.

Como concepto cualitativo, el vector de giro suele ser útil porque es fácil de representar de forma clásica. Por ejemplo, el espín mecánico cuántico puede presentar fenómenos análogos a los efectos giroscópicos clásicos. Por ejemplo, uno puede ejercer una especie de " torque " sobre un electrón colocándolo en un campo magnético (el campo actúa sobre el momento dipolar magnético intrínseco del electrón; consulte la siguiente sección). El resultado es que el vector de giro sufre una precesión, al igual que un giroscopio clásico. Este fenómeno se conoce como resonancia de espín de electrones (ESR). El comportamiento equivalente de los protones en los núcleos atómicos se utiliza en la espectroscopia y la formación de imágenes por resonancia magnética nuclear (RMN).

Matemáticamente, los estados de espín de la mecánica cuántica se describen mediante objetos similares a vectores conocidos como espinores. Existen diferencias sutiles entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas. Por ejemplo, al rotar un giro1/2la partícula en 360 ° no la devuelve al mismo estado cuántico, sino al estado con la fase cuántica opuesta ; esto es detectable, en principio, con experimentos de interferencia. Para devolver la partícula a su estado original exacto, se necesita una rotación de 720 °. (El truco de la placa y la tira de Möbius dan analogías no cuánticas). Una partícula de espín cero solo puede tener un único estado cuántico, incluso después de aplicar el par. Girar una partícula de espín 2 180 ° puede devolverla al mismo estado cuántico, y una partícula de espín 4 debe girarse 90 ° para devolverla al mismo estado cuántico. La partícula de spin-2 puede ser análoga a una barra recta que se ve igual incluso después de girarla 180 °, y una partícula de spin-0 se puede imaginar como una esfera, que se ve igual después de cualquier ángulo en el que se gire.

Formulación matemática

Operador

Spin obedece a relaciones de conmutación análogas a las del momento angular orbital :

$$ [ S ^ j , S ^ k ]=Iℏ ε j k l S ^ l, {\ Displaystyle \ left [{\ hat {S}} _ {j}, {\ hat {S}} _ {k} \ right] = i \ hbar \ varepsilon _ {jkl} {\ hat {S}} _ {l},}

donde ε jkl es el símbolo de Levi-Civita. De ello se deduce (como con el momento angular ) que los autovectores de y (expresados ​​como kets en la base S total) son $$

S ^ 2 {\ Displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$$ S ^ z {\ Displaystyle {\ hat {S}} _ {z}}

$$ S ^ 2 | s , metro s ⟩ = ℏ 2 s ( s + 1 ) | s , metro s ⟩ , S ^ z | s , metro s ⟩ = ℏ metro s | s , metro s ⟩ . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {S}} ^ {2} | s, m_ {s} \ rangle amp; = \ hbar ^ {2} s (s + 1) | s, m_ {s} \ rangle, \\ {\ hat {S}} _ {z} | s, m_ {s} \ rangle amp; = \ hbar m_ {s} | s, m_ {s} \ rangle. \ end {alineado}}}

Los operadores de subida y bajada de giro que actúan sobre estos vectores propios dan

$$ S ^ ± |s, metro s⟩=ℏ s ( s + 1 ) - metro s ( metro s ± 1 ) |s, metro s±1⟩, {\ Displaystyle {\ hat {S}} _ {\ pm} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1) -m_ {s} (m_ {s} \ pm 1)}} | s, m_ {s} \ pm 1 \ rangle,}

donde. $$

S ^ ±= S ^ X±I S ^ y {\ Displaystyle {\ hat {S}} _ {\ pm} = {\ hat {S}} _ {x} \ pm i {\ hat {S}} _ {y}}

Pero a diferencia del momento angular orbital, los vectores propios no son armónicos esféricos. No son funciones de θ y φ. Tampoco hay ninguna razón para excluir los valores medio enteros de s y m s.

Todas las partículas de la mecánica cuántica poseen un espín intrínseco (aunque este valor puede ser igual a cero). La proyección del espín en cualquier eje se cuantifica en unidades de la constante de Planck reducida, de modo que la función de estado de la partícula es, digamos, no, pero, donde solo se pueden tomar los valores del siguiente conjunto discreto: $$

s {\ Displaystyle s}$$s {\ Displaystyle s} $$ψ=ψ( r →) {\ Displaystyle \ psi = \ psi ({\ vec {r}})}$$ψ=ψ( r →, s z) {\ Displaystyle \ psi = \ psi ({\ vec {r}}, s_ {z})}$$ s z {\ Displaystyle s_ {z}}

$$ s z∈{-sℏ,-(s-1)ℏ,⋯,+(s-1)ℏ,+sℏ}. {\ Displaystyle s_ {z} \ in \ {- s \ hbar, - (s-1) \ hbar, \ cdots, + (s-1) \ hbar, + s \ hbar \}.}

Se distinguen bosones (espín entero) y fermiones ( espín medio entero). El momento angular total conservado en los procesos de interacción es entonces la suma del momento angular orbital y el espín.

Matrices de Pauli

Artículo principal: matrices de Pauli

Los operadores de la mecánica cuántica asociados con el espín-1/2 los observables son

$$ S ^= ℏ 2 σ, {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}},}

donde en componentes cartesianos

$$ S X= ℏ 2 σ X, S y= ℏ 2 σ y, S z= ℏ 2 σ z. {\ Displaystyle S_ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {x}, \ quad S_ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {y}, \ quad S_ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {z}.}

Para el caso especial de spin-1/2partículas, σ x, σ y y σ z son las tres matrices de Pauli :

$$ σ X= ( 0 1 1 0), σ y= ( 0 - I I 0), σ z= ( 1 0 0 - 1). {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i \\ i amp; 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 \ end {pmatrix}}.}

principio de exclusión de Pauli

Para sistemas de N partículas idénticas, esto está relacionado con el principio de exclusión de Pauli, que establece que su función de onda debe cambiar al intercambiar dos de las N partículas como $$

ψ( r 1, σ 1,..., r norte, σ norte) {\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ sigma _ {1}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}, \ sigma _ {N})}

$$ψ(..., r I, σ I,..., r j, σ j,...)=(-1 ) 2 sψ(..., r j, σ j,..., r I, σ I,...). {\ Displaystyle \ psi (\ dots, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i}, \ dots, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j}, \ dots) = (-1) ^ {2s} \ psi (\ puntos, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j}, \ puntos, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i}, \ puntos).}

Por lo tanto, para los bosones el prefactor (-1) ^{2 s} se reducirá a +1, para los fermiones a -1. En la mecánica cuántica, todas las partículas son bosones o fermiones. En algunas teorías de campos cuánticos relativistas especulativos también existen partículas " supersimétricas ", donde aparecen combinaciones lineales de componentes bosónicos y fermiónicos. En dos dimensiones, el prefactor (−1) ^{2 s} puede ser reemplazado por cualquier número complejo de magnitud 1 como en anyon.

El postulado de permutación anterior para las funciones del estado de las partículas N tiene las consecuencias más importantes en la vida diaria, por ejemplo, la tabla periódica de los elementos químicos.

Rotaciones

Ver también: Simetría en mecánica cuántica

Como se describió anteriormente, la mecánica cuántica establece que los componentes del momento angular medidos a lo largo de cualquier dirección solo pueden tomar un número de valores discretos. La descripción mecánica cuántica más conveniente del giro de una partícula es, por lo tanto, con un conjunto de números complejos correspondientes a las amplitudes de encontrar un valor dado de proyección de su momento angular intrínseco sobre un eje dado. Por ejemplo, para un giro1/2partícula, necesitaríamos dos números a ± 1/2, dando amplitudes de encontrarlo con una proyección de momento angular igual a +ħ/2y -ħ/2, satisfaciendo el requisito

$$ | a + 1 / 2 | 2+ | a - 1 / 2 | 2=1. {\ Displaystyle | a _ {+ 1/2} | ^ {2} + | a _ {- 1/2} | ^ {2} = 1.}

Para una partícula genérica con spin s, necesitaríamos 2 s + 1 de tales parámetros. Dado que estos números dependen de la elección del eje, se transforman entre sí de manera no trivial cuando se gira este eje. Está claro que la ley de transformación debe ser lineal, por lo que podemos representarla asociando una matriz a cada rotación, y el producto de dos matrices de transformación correspondientes a las rotaciones A y B debe ser igual (hasta la fase) a la matriz que representa la rotación. AB. Además, las rotaciones preservan el producto interno de la mecánica cuántica, al igual que nuestras matrices de transformación:

$$ ∑ metro = - j j a metro ∗ B metro= ∑ metro = - j j ( ∑ norte = - j j U norte metro a norte ) ∗ ( ∑ k = - j j U k metro B k ), {\ Displaystyle \ sum _ {m = -j} ^ {j} a_ {m} ^ {*} b_ {m} = \ sum _ {m = -j} ^ {j} \ left (\ sum _ {n = -j} ^ {j} U_ {nm} a_ {n} \ right) ^ {*} \ left (\ sum _ {k = -j} ^ {j} U_ {km} b_ {k} \ right),}

$$ ∑ norte = - j j ∑ k = - j j U norte pag ∗ U k q= δ pag q. {\ Displaystyle \ sum _ {n = -j} ^ {j} \ sum _ {k = -j} ^ {j} U_ {np} ^ {*} U_ {kq} = \ delta _ {pq}.}

Matemáticamente hablando, estas matrices proporcionan una representación proyectiva unitaria del grupo de rotación SO (3). Cada una de estas representaciones corresponde a una representación del grupo de cobertura de SO (3), que es SU (2). Hay una representación irreducible n- dimensional de SU (2) para cada dimensión, aunque esta representación es real n- dimensional para n impares y complejo n- dimensional para n pares (por lo tanto, de dimensión real 2 n). Para una rotación por ángulo θ en el plano con vector normal, $$

θ ^ {\ textstyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}}

$$U= mi - I ℏ θ ⋅ S, {\ Displaystyle U = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {S}},}

donde, y S es el vector de operadores de giro. $$

θ=θ θ ^ {\ textstyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}}

(Haga clic en "mostrar" a la derecha para ver una prueba u "ocultar" para ocultarla).

---

Trabajando en el sistema de coordenadas donde, nos gustaría mostrar que S x y S y están rotados entre sí por el ángulo θ. Comenzando con S x. Usando unidades donde ħ = 1: $$

θ ^= z ^ {\ textstyle {\ hat {\ theta}} = {\ hat {z}}}

$$ S X → U † S X U = mi I θ S z S X mi - I θ S z = S X + ( I θ ) [ S z , S X ] + ( 1 2 ! ) ( I θ ) 2 [ S z , [ S z , S X ] ] + ( 1 3 ! ) ( I θ ) 3 [ S z , [ S z , [ S z , S X ] ] ] + ... {\ Displaystyle {\ begin {alineado} S_ {x} \ rightarrow U ^ {\ dagger} S_ {x} U amp; = e ^ {i \ theta S_ {z}} S_ {x} e ^ {- i \ theta S_ {z}} \\ amp; = S_ {x} + (i \ theta) \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] + \ left ({\ frac {1} {2!}} \ right) (i \ theta) ^ {2} \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] \ right] + \ left ({\ frac {1} {3!} } \ right) (i \ theta) ^ {3} \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] \ right] \ right] + \ ldots \ end {alineado}}}

Usando las relaciones de conmutación del operador de espín, vemos que los conmutadores evalúan a i S y para los términos impares en la serie, y a S x para todos los términos pares. Por lo tanto:

$$ U † S X U = S X [ 1 - θ 2 2 ! + ... ] - S y [ θ - θ 3 3 ! ⋯ ] = S X porque ⁡ θ - S y pecado ⁡ θ , {\ displaystyle {\ begin {alineado} U ^ {\ dagger} S_ {x} U amp; = S_ {x} \ left [1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2!}} + \ ldots \ derecha] -S_ {y} \ izquierda [\ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} \ cdots \ right] \\ amp; = S_ {x} \ cos \ theta -S_ {y } \ sin \ theta, \ end {alineado}}}

como se esperaba. Tenga en cuenta que dado que solo confiamos en las relaciones de conmutación del operador de espín, esta prueba es válida para cualquier dimensión (es decir, para cualquier número cuántico de espín principal s).

---

Se puede construir una rotación genérica en un espacio tridimensional combinando operadores de este tipo usando ángulos de Euler :

$$ R(α,β,γ)= mi - I α S z mi - I β S y mi - I γ S z. {\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = e ^ {- i \ alpha S_ {z}} e ^ {- i \ beta S_ {y}} e ^ {- i \ gamma S_ {z}}.}

La matriz D de Wigner proporciona una representación irreducible de este grupo de operadores:

$$ D metro ′ metro s(α,β,γ)≡⟨s metro ′ | R(α,β,γ) |smetro⟩= mi - I metro ′ α D metro ′ metro s(β) mi - I metro γ, {\ Displaystyle D_ {m'm} ^ {s} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \ equiv \ langle sm '| {\ mathcal {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) | sm \ rangle = e ^ {- im '\ alpha} d_ {m'm} ^ {s} (\ beta) e ^ {- im \ gamma},}

dónde

$$ D metro ′ metro s(β)=⟨s metro ′ | mi - I β s y |smetro⟩ {\ Displaystyle d_ {m'm} ^ {s} (\ beta) = \ langle sm '| e ^ {- i \ beta s_ {y}} | sm \ rangle}

es la pequeña matriz d de Wigner. Tenga en cuenta que para γ = 2π y α = β = 0 ; es decir, una rotación completa alrededor del  eje z, los elementos de la matriz D de Wigner se vuelven

$$ D metro ′ metro s(0,0,2π)= D metro ′ metro s(0) mi - I metro 2 π= δ metro ′ metro(-1 ) 2 metro. {\ Displaystyle D_ {m'm} ^ {s} (0,0,2 \ pi) = d_ {m'm} ^ {s} (0) e ^ {- im2 \ pi} = \ delta _ {m 'm} (- 1) ^ {2m}.}

Recordando que un estado de espín genérico se puede escribir como una superposición de estados con m definido, vemos que si s es un número entero, los valores de m son todos números enteros y esta matriz corresponde al operador de identidad. Sin embargo, si s es un medio entero, los valores de m también son medio enteros, lo que da (−1) ^{2 m} = −1 para todo m, y por lo tanto, al girar en 2 π, el estado toma un signo menos. Este hecho es un elemento crucial de la demostración del teorema de estadística de espín.

Transformaciones de Lorentz

Podríamos intentar el mismo enfoque para determinar el comportamiento del espín bajo las transformaciones generales de Lorentz, pero descubriríamos inmediatamente un obstáculo importante. A diferencia de SO (3), el grupo de transformaciones de Lorentz SO (3,1) no es compacto y, por lo tanto, no tiene representaciones fieles, unitarias y de dimensión finita.

En caso de giro1/2partículas, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar que sea preservado por esta representación. Asociamos un espinor de Dirac ψ de 4 componentes con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz de acuerdo con la ley.

$$ ψ ′=Exp⁡ ( 1 8 ω μ ν [ γ μ , γ ν ] ) ψ , {\ Displaystyle \ psi '= \ exp {\ left ({\ tfrac {1} {8}} \ omega _ {\ mu \ nu} [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}] \ derecha)} \ psi,}

donde γ ν son matrices gamma, y ω μν es una matriz antisimétrica 4 × 4 que parametriza la transformación. Se puede demostrar que el producto escalar

$$⟨ψ |ϕ⟩= ψ ¯ϕ= ψ † γ 0ϕ {\ Displaystyle \ langle \ psi | \ phi \ rangle = {\ bar {\ psi}} \ phi = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma _ {0} \ phi}

se conserva. Sin embargo, no es positivo-definido, por lo que la representación no es unitaria.

Medición del giro a lo largo de los ejes x, y o z

Cada una de las matrices ( hermitianas ) de Pauli de spin-1/2partículas tiene dos valores propios, +1 y -1. Los vectores propios normalizados correspondientes son

$$ ψ X + = | 1 2 , + 1 2 ⟩ X = 1 2 ( 1 1), ψ X - = | 1 2 , - 1 2 ⟩ X = 1 2 ( 1 - 1), ψ y + = | 1 2 , + 1 2 ⟩ y = 1 2 ( 1 I), ψ y - = | 1 2 , - 1 2 ⟩ y = 1 2 ( 1 - I), ψ z + = | 1 2 , + 1 2 ⟩ z = ( 1 0), ψ z - = | 1 2 , - 1 2 ⟩ z = ( 0 1). {\ Displaystyle {\ begin {array} {lclc} \ psi _ {x +} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ { x} = \ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \! \! amp; {\ begin {pmatrix} {1} \\ {1} \ end {pmatrix}}, amp; \ psi _ {x -} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \ displaystyle {\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \! \! amp; {\ Begin {pmatrix} {1} \\ {- 1} \ end {pmatrix}}, \\\ psi _ {y + } = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \! \! \! \! \! amp; {\ begin {pmatrix} {1} \\ {i} \ end {pmatrix}}, amp; \ psi _ {y -} = \ left | {\ frac { 1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \ ! \! amp; {\ begin {pmatrix} {1} \\ {- i} \ end {pmatrix}}, \\\ psi _ {z +} = \ left | {\ frac {1} {2}}, { \ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = amp; {\ begin {pmatrix} {1} \\ {0} \ end {pmatrix}}, amp; \ psi _ {z -} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = amp; {\ begin {pmatrix} {0} \\ {1} \ end {pmatrix}}. \ end {array}}}

(Debido a que cualquier vector propio multiplicado por una constante sigue siendo un vector propio, existe ambigüedad sobre el signo general. En este artículo, se elige la convención para hacer que el primer elemento sea imaginario y negativo si hay una ambigüedad de signo. La presente convención es utilizada por software como SymPy ; mientras que muchos libros de texto de física, como Sakurai y Griffiths, prefieren hacerlo real y positivo).

Según los postulados de la mecánica cuántica, un experimento diseñado para medir el espín del electrón en el  eje x, y o z solo puede producir un valor propio del operador de espín correspondiente ( S x, S y o S z) en ese eje, es decirħ/2o -ħ/2. El estado cuántico de una partícula (con respecto al espín), se puede representar mediante un espinor de dos componentes:

$$ψ= ( a + B I C + D I). {\ Displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} a + bi \\ c + di \ end {pmatrix}}.}

Cuando se mide el giro de esta partícula con respecto a un eje dado (en este ejemplo, el  eje x), la probabilidad de que su giro se mida comoħ/2es justo. En consecuencia, la probabilidad de que su giro se mida como -$$

|⟨ ψ X + |ψ⟩ | 2 {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi \ rangle {\ big |} ^ {2}}ħ/2es justo. Después de la medición, el estado de giro de la partícula colapsa en el estado propio correspondiente. Como resultado, si se ha medido que el giro de la partícula a lo largo de un eje dado tiene un valor propio dado, todas las mediciones producirán el mismo valor propio (desde, etc.), siempre que no se realicen mediciones del giro a lo largo de otros ejes. $$ |⟨ ψ X - |ψ⟩ | 2 {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x-} | \ psi \ rangle {\ big |} ^ {2}} $$ |⟨ ψ X + | ψ X +⟩ | 2=1 {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi _ {x +} \ rangle {\ big |} ^ {2} = 1}

Medición del giro a lo largo de un eje arbitrario.

El operador para medir el giro a lo largo de una dirección de eje arbitraria se obtiene fácilmente a partir de las matrices de giro de Pauli. Sea u = ( u x, u y, u z) un vector unitario arbitrario. Entonces el operador para girar en esta dirección es simplemente

$$ S tu= ℏ 2( tu X σ X+ tu y σ y+ tu z σ z). {\ Displaystyle S_ {u} = {\ frac {\ hbar} {2}} (u_ {x} \ sigma _ {x} + u_ {y} \ sigma _ {y} + u_ {z} \ sigma _ { z}).}

El operador S u tiene valores propios de ±ħ/2, al igual que las matrices de giro habituales. Este método de encontrar el operador para el espín en una dirección arbitraria se generaliza a estados de espín más altos, uno toma el producto escalar de la dirección con un vector de los tres operadores para las tres direcciones del eje x, y, z.

Un espinor normalizado para spin-1/2en la dirección ( u x, u y, u z) (que funciona para todos los estados de giro excepto el giro hacia abajo, donde dará0/0) es

$$ 1 2 + 2 tu z ( 1 + tu z tu X + I tu y). {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 + 2u_ {z}}}} {\ begin {pmatrix} 1 + u_ {z} \\ u_ {x} + iu_ {y} \ end {pmatrix} }.}

El espinor anterior se obtiene de la forma habitual diagonalizando la matriz σ u y encontrando los estados propios correspondientes a los valores propios. En mecánica cuántica, los vectores se denominan "normalizados" cuando se multiplican por un factor de normalización, lo que da como resultado que el vector tenga una longitud unitaria.

Compatibilidad de las medidas de giro

Dado que las matrices de Pauli no se conmutan, las medidas de giro a lo largo de los diferentes ejes son incompatibles. Esto significa que si, por ejemplo, conocemos el giro a lo largo del  eje x, y luego medimos el giro a lo largo del  eje y, hemos invalidado nuestro conocimiento previo del  giro del eje x. Esto se puede ver en la propiedad de los autovectores (es decir, autoestados) de las matrices de Pauli que

$$ |⟨ ψ X ± | ψ y ±⟩ | 2= |⟨ ψ X ± | ψ z ±⟩ | 2= |⟨ ψ y ± | ψ z ±⟩ | 2= 1 2 . {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x \ pm} | \ psi _ {y \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ big |} \ langle \ psi _ { x \ pm} | \ psi _ {z \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ big |} \ langle \ psi _ {y \ pm} | \ psi _ {z \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}}.}

Entonces, cuando los físicos miden el giro de una partícula a lo largo del  eje x como, por ejemplo,ħ/2, el estado de giro de la partícula colapsa en el estado propio. Cuando posteriormente medimos el giro de la partícula a lo largo del  eje y, el estado de giro ahora colapsará en o, cada uno con probabilidad$$

| ψ X +⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {x +} \ rangle}$$ | ψ y +⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {y +} \ rangle}$$ | ψ y -⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {y -} \ rangle}1/2. Digamos, en nuestro ejemplo, que medimos:ħ/2. Cuando volvamos a medir el giro de la partícula a lo largo del  eje x nuevamente, las probabilidades de que mediremosħ/2o -ħ/2 son cada uno 1/2(es decir, son y respectivamente). Esto implica que la medida original del giro a lo largo del  eje x ya no es válida, ya  que ahora se medirá el giro a lo largo del eje x para que tenga valor propio con la misma probabilidad. $$ |⟨ ψ X + | ψ y -⟩ | 2 {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi _ {y -} \ rangle {\ big |} ^ {2}}$$ |⟨ ψ X - | ψ y -⟩ | 2 {\ Displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x-} | \ psi _ {y -} \ rangle {\ big |} ^ {2}}

Giros más altos

El giro-1/2operador S =ħ/2σ forma la representación fundamental de SU (2). Al tomar los productos de Kronecker de esta representación consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreductibles superiores. Es decir, los operadores de giro resultantespara sistemas de giro más alto en tres dimensiones espaciales se pueden calcular para s arbitrariamente grandesutilizando este operador de giro y operadores de escalera. Por ejemplo, tomando el producto Kronecker de dos spin-1/2produce una representación de cuatro dimensiones, que se puede separar en un spin-1 tridimensional ( estados de triplete ) y una representación de spin-0 unidimensional ( estado de singlete ).

Las representaciones irreducibles resultantes producen las siguientes matrices de espín y valores propios en la base z:

1. Para el giro 1 son

   $$ S X = ℏ 2 ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0), | 1 , + 1 ⟩ X = 1 2 ( 1 2 1), | 1 , 0 ⟩ X = 1 2 ( - 1 0 1), | 1 , - 1 ⟩ X = 1 2 ( 1 - 2 1) S y = ℏ 2 ( 0 - I 0 I 0 - I 0 I 0), | 1 , + 1 ⟩ y = 1 2 ( - 1 - I 2 1), | 1 , 0 ⟩ y = 1 2 ( 1 0 1), | 1 , - 1 ⟩ y = 1 2 ( - 1 I 2 1) S z = ℏ ( 1 0 0 0 0 0 0 0 - 1), | 1 , + 1 ⟩ z = ( 1 0 0), | 1 , 0 ⟩ z = ( 0 1 0), | 1 , - 1 ⟩ z = ( 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {align} S_ {x} amp; = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1, + 1 \ right \ rangle _ {x} amp; = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ {\ sqrt {2}} \\ 1 \ end { pmatrix}}, amp; \ left | 1,0 \ right \ rangle _ {x} amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1, -1 \ right \ rangle _ {x} amp; = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ {- {\ sqrt {2 }}} \\ 1 \ end {pmatrix}} \\ S_ {y} amp; = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i amp; 0 \\ i amp; 0 amp; -i \ \ 0 amp; i amp; 0 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1, + 1 \ right \ rangle _ {y} amp; = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} -1 \\ - i { \ sqrt {2}} \\ 1 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1,0 \ right \ rangle _ {y} amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1, -1 \ right \ rangle _ {y} amp; = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix } -1 \\ i {\ sqrt {2}} \\ 1 \ end {pmatrix}} \\ S_ {z} amp; = \ hbar {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 \ end { pmatrix}}, amp; \ left | 1, + 1 \ right \ rangle _ {z} amp; = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1,0 \ right \ rangle _ {z} amp; = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, amp; \ left | 1, -1 \ right \ rangle _ {z} amp; = {\ be gin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} \\\ end {alineado}}}

2. Para girar 3/2 son
   $$ S X = ℏ 2 ( 0 3 0 0 3 0 2 0 0 2 0 3 0 0 3 0), | 3 2 , + 3 2 ⟩ X = 1 2 2 ( 1 3 3 1), | 3 2 , + 1 2 ⟩ X = 1 2 2 ( - 3 - 1 1 3), | 3 2 , - 1 2 ⟩ X = 1 2 2 ( 3 - 1 - 1 3), | 3 2 , - 3 2 ⟩ X = 1 2 2 ( - 1 3 - 3 1) S y = ℏ 2 ( 0 - I 3 0 0 I 3 0 - 2 I 0 0 2 I 0 - I 3 0 0 I 3 0), | 3 2 , + 3 2 ⟩ y = 1 2 2 ( I - 3 - I 3 1), | 3 2 , + 1 2 ⟩ y = 1 2 2 ( - I 3 1 - I 3), | 3 2 , - 1 2 ⟩ y = 1 2 2 ( I 3 1 I 3), | 3 2 , - 3 2 ⟩ y = 1 2 2 ( - I - 3 I 3 1) S z = ℏ 2 ( 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 3), | 3 2 , + 3 2 ⟩ z = ( 1 0 0 0), | 3 2 , + 1 2 ⟩ z = ( 0 1 0 0), | 3 2 , - 1 2 ⟩ z = ( 0 0 1 0), | 3 2 , - 3 2 ⟩ z = ( 0 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {array} {lclc} S_ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; 0 \\ {\ sqrt {3 }} amp; 0 amp; 2 amp; 0 \\ 0 amp; 2 amp; 0 amp; {\ sqrt {3}} \\ 0 amp; 0 amp; {\ sqrt {3}} amp; 0 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ Left | {\ frac {3} {2} }, {\ frac {+3} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \! \! \! amp; {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin { pmatrix} 1 \\ {\ sqrt {3}} \\ {\ sqrt {3}} \\ 1 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2} }, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \! \! \! amp; {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin { pmatrix} {- {\ sqrt {3}}} \\ - 1 \\ 1 \\ {\ sqrt {3}} \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3 } {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \! \! \! amp; {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin {pmatrix} {\ sqrt {3}} \\ - 1 \\ - 1 \\ {\ sqrt {3}} \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-3} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \! \! \! amp; {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {2}} }} {\ begin {pmatrix} -1 \\ {\ sqrt {3}} \\ {- {\ sqrt {3}}} \\ 1 \ end {pmatrix}} \\ S_ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; 0 \\ i {\ sqrt {3}} amp; 0 amp; -2i amp; 0 \\ 0 amp; 2i amp; 0 amp; -i {\ sqrt {3}} \\ 0 amp; 0 amp; i {\ sqrt {3}} amp; 0 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ Left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {+3} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \! \ ! \! amp; {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin {pmatrix} {i} \\ {- {\ sqrt {3}}} \\ {- i {\ sqrt {3}}} \\ 1 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ Left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \! \! \! amp; {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin {pmatrix} {- i {\ sqrt {3}}} \\ 1 \\ {- i} \\ {\ sqrt {3}} \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \! \! \! amp; {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin {pmatrix} {i {\ sqrt {3 }}} \\ 1 \\ {i} \\ {\ sqrt {3}} \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ Left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-3} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \! \! \! amp; {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ begin {pmatrix} {- i} \\ {- {\ sqrt {3}}} \\ {i {\ sqrt {3}}} \\ 1 \ end {pmatrix}} \\ S_ {z} = {\ frac {\ hbar} { 2}} {\ begin {pmatrix} 3 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -3 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ Left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {+3} {2}} \ right \ rangle _ {z} = \! \! \! amp; {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = \! \! \! amp; { \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = \! \! \! amp; {\ Begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pm atrix}}, \! \! \! amp; \ left | {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-3} {2}} \ right \ rangle _ {z} = \! \! \ ! amp; {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} \\\ end {array}}}
3. Para girar 5/2 son
   $$ S X = ℏ 2 ( 0 5 0 0 0 0 5 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 3 0 0 0 0 3 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 5 0 0 0 0 5 0), S y = ℏ 2 ( 0 - I 5 0 0 0 0 I 5 0 - 2 I 2 0 0 0 0 2 I 2 0 - 3 I 0 0 0 0 3 I 0 - 2 I 2 0 0 0 0 2 I 2 0 - I 5 0 0 0 0 I 5 0), S z = ℏ 2 ( 5 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 0 0 - 5). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {S}} _ {x} amp; = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; {\ sqrt {5}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ {\ sqrt {5}} amp; 0 amp; 2 {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 2 {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; 3 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 3 amp; 0 amp; 2 {\ sqrt {2}} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 2 {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; { \ sqrt {5}} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; {\ sqrt {5}} amp; 0 \ end {pmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {S}} _ {y} amp; = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i {\ sqrt {5}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ i {\ sqrt {5}} amp; 0 amp; -2i {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 2i {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; - 3i amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 3i amp; 0 amp; -2i {\ sqrt {2}} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 2i {\ sqrt {2}} amp; 0 amp; -i {\ sqrt {5}} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; i {\ sqrt {5}} amp; 0 \ end {pmatrix} }, \\ {\ boldsymbol {S}} _ {z} amp; = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 5 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 3 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; - 0 3 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; -5 \ end {pmatrix}}. \ End {alineado}}}
4. La generalización de estas matrices para espines arbitrarios s es
   $$ ( S X ) a B = ℏ 2 ( δ a , B + 1 + δ a + 1 , B ) ( s + 1 ) ( a + B - 1 ) - a B , ( S y ) a B = I ℏ 2 ( δ a , B + 1 - δ a + 1 , B ) ( s + 1 ) ( a + B - 1 ) - a B , ( S z ) a B = ℏ ( s + 1 - a ) δ a , B = ℏ ( s + 1 - B ) δ a , B , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (S_ {x} \ right) _ {ab} amp; = {\ frac {\ hbar} {2}} \ left (\ delta _ {a, b + 1} + \ delta _ {a + 1, b} \ right) {\ sqrt {(s + 1) (a + b-1) -ab}}, \\\ left (S_ {y} \ right) _ {ab} amp; = {\ frac {i \ hbar} {2}} \ left (\ delta _ {a, b + 1} - \ delta _ {a + 1, b} \ right) {\ sqrt {(s + 1) (a + b-1) -ab}}, \\\ izquierda (S_ {z} \ right) _ {ab} amp; = \ hbar (s + 1-a) \ delta _ {a, b} = \ hbar (s + 1-b) \ delta _ {a, b}, \ end {alineado}}}

   donde los índices son números enteros tales que $$

   a,B {\ Displaystyle a, b}

   $$1≤a≤2s+1,1≤B≤2s+1. {\ Displaystyle 1 \ leq a \ leq 2s + 1, \ quad 1 \ leq b \ leq 2s + 1.}

También útil en la mecánica cuántica de los sistemas multipartículas, el grupo general de Pauli G n se define para consistir en todos los productos tensoriales de n- pliegues de las matrices de Pauli.

La fórmula analógica de la fórmula de Euler en términos de las matrices de Pauli

$$ R ^(θ, norte ^)= mi I θ 2 norte ^ ⋅ σ=Iporque⁡ θ 2+I ( norte ^ ⋅ σ )pecado⁡ θ 2 {\ Displaystyle {\ hat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {n}}}) = e ^ {i {\ frac {\ theta} {2}} {\ hat {\ mathbf {n }}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = I \ cos {\ frac {\ theta} {2}} + i \ left ({\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ right) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

para giros más altos es manejable, pero menos simple.

Paridad

En las tablas de la cuántico de espín número s de núcleos o partículas, el giro es a menudo seguido por un signo "+" o "-". Esto se refiere a la paridad con "+" para paridad par (función de onda sin cambios por inversión espacial) y "-" para paridad impar (función de onda negada por inversión espacial). Por ejemplo, consulte los isótopos de bismuto, en los que la lista de isótopos incluye la columna de espín nuclear y la paridad. Para Bi-209, el único isótopo estable, la entrada 9 / 2– significa que el espín nuclear es 9/2 y la paridad es impar.

Aplicaciones

Spin tiene importantes implicaciones teóricas y aplicaciones prácticas. Las aplicaciones directas bien establecidas de los efectos incluyen:

• Espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN) en química;
• Espectroscopía de resonancia de espín electrónico (ESR o EPR) en química y física;
• Imágenes por resonancia magnética (IRM) en medicina, un tipo de RMN aplicada, que se basa en la densidad de espín del protón;
• Tecnología de cabezal de unidad magnetorresistiva gigante (GMR) en discos duros modernos.

El espín del electrón juega un papel importante en el magnetismo, con aplicaciones, por ejemplo, en las memorias de las computadoras. La manipulación del espín nuclear por ondas de radiofrecuencia ( resonancia magnética nuclear ) es importante en la espectroscopia química y la formación de imágenes médicas.

El acoplamiento espín-órbita conduce a la estructura fina de los espectros atómicos, que se utiliza en los relojes atómicos y en la definición moderna del segundo. Las mediciones precisas del factor g del electrón han jugado un papel importante en el desarrollo y verificación de la electrodinámica cuántica. El giro de los fotones está asociado con la polarización de la luz ( polarización de fotones ).

Una aplicación emergente de espín es como portador de información binaria en transistores de espín. El concepto original, propuesto en 1990, se conoce como transistor de espín Datta-Das. La electrónica basada en transistores de espín se conoce como espintrónica. La manipulación del espín en materiales semiconductores magnéticos diluidos, como ZnO o TiO 2 dopado con metal, imparte un mayor grado de libertad y tiene el potencial de facilitar la fabricación de componentes electrónicos más eficientes.

Hay muchas aplicaciones y manifestaciones indirectas del espín y el principio de exclusión de Pauli asociado, comenzando con la tabla periódica de la química.

Historia

Wolfgang Pauli dar una conferencia

Spin se descubrió por primera vez en el contexto del espectro de emisión de metales alcalinos. En 1924, Wolfgang Pauli introdujo lo que él llamó un "valor de dos valores no describible clásicamente" asociado con el electrón en la capa más externa. Esto le permitió formular el principio de exclusión de Pauli, afirmando que dos electrones no pueden tener el mismo estado cuántico en el mismo sistema cuántico.

La interpretación física del "grado de libertad" de Pauli era inicialmente desconocida. Ralph Kronig, uno de los asistentes de Landé, sugirió a principios de 1925 que fue producido por la autorrotación del electrón. Cuando Pauli escuchó sobre la idea, la criticó severamente, señalando que la superficie hipotética del electrón tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para que gire lo suficientemente rápido como para producir el momento angular necesario. Esto violaría la teoría de la relatividad. En gran parte debido a las críticas de Pauli, Kronig decidió no publicar su idea.

En el otoño de 1925, el mismo pensamiento llegó a los físicos holandeses George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden. Bajo el consejo de Paul Ehrenfest, publicaron sus resultados. Recibió una respuesta favorable, especialmente después de que Llewellyn Thomas logró resolver una discrepancia de factor de dos entre los resultados experimentales y los cálculos de Uhlenbeck y Goudsmit (y los resultados no publicados de Kronig). Esta discrepancia se debió a la orientación del marco tangente del electrón, además de su posición.

Matemáticamente hablando, se necesita una descripción del haz de fibras. El efecto de haz tangente es aditivo y relativista; es decir, se desvanece si c va al infinito. Es la mitad del valor obtenido sin tener en cuenta la orientación del espacio tangente, pero con signo opuesto. Así, el efecto combinado difiere del último en un factor dos ( precesión de Thomas, conocida por Ludwik Silberstein en 1914).

A pesar de sus objeciones iniciales, Pauli formalizó la teoría del espín en 1927, utilizando la teoría moderna de la mecánica cuántica inventada por Schrödinger y Heisenberg. Fue pionero en el uso de matrices de Pauli como representación de los operadores de espín e introdujo una función de onda de espínor de dos componentes. Uhlenbeck y Goudsmit consideraron que el giro surge de la rotación clásica, mientras que Pauli enfatizó que el giro es una propiedad intrínseca y no clásica.

La teoría del giro de Pauli no era relativista. Sin embargo, en 1928, Paul Dirac publicó la ecuación de Dirac, que describía el electrón relativista. En la ecuación de Dirac, se utilizó un espinor de cuatro componentes (conocido como " espinor de Dirac ") para la función de onda del electrón. El giro relativista explicó la anomalía giromagnética, que fue (en retrospectiva) observada por primera vez por Samuel Jackson Barnett en 1914 (ver efecto Einstein-de Haas ). En 1940, Pauli demostró el teorema de la estadística de espín, que establece que los fermiones tienen espín medio entero y los bosones tienen espín entero.

En retrospectiva, la primera evidencia experimental directa del espín del electrón fue el experimento de Stern-Gerlach de 1922. Sin embargo, la explicación correcta de este experimento solo se dio en 1927.

Ver también

• Quiralidad (física)
• Polarización nuclear dinámica
• Efecto Einstein-de Haas
• Helicidad (física de partículas)
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Teorema de Kramers
• Ecuación de Pauli
• Pseudovector de Pauli – Lubanski
• Ecuación de Rarita-Schwinger
• Teoría de la representación de SU (2)
• Girar-1/2
• Girar el momento angular de la luz
• Ingeniería de giro
• Spin-flip
• Spin isómeros de hidrógeno
• Interacción giro-órbita
• Tensor de giro
• Ola giratoria
• Yrast
• Zitterbewegung

Referencias

Otras lecturas

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2006). Mecánica cuántica (edición de 2 volúmenes). John Wiley e hijos. ISBN   978-0-471-56952-7.
• Condon, UE; Shortley, GH (1935). "Especialmente el capítulo 3". La teoría de los espectros atómicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   978-0-521-09209-8.
• Hipple, JA; Sommer, H.; Thomas, HA (1949). "Un método preciso para determinar el faraday por resonancia magnética". Revisión física. 76 (12): 1877–1878. Código Bibliográfico : 1949PhRv... 76.1877H. doi : 10.1103 / PhysRev.76.1877.2.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN   978-0-691-07912-7.
• Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN   978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Brooks / Cole. ISBN   978-0-534-40842-8.
• Thompson, William J. (1994). Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos. Wiley. ISBN   978-0-471-55264-2.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.). WH Freeman. ISBN   978-0-7167-0809-4.

• Sin-Itiro Tomonaga, La historia de Spin, 1997

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Spin (momento angular intrínseco).

• Citas relacionadas con Spin (física) en Wikiquote
• Goudsmit sobre el descubrimiento del espín del electrón.
• Naturaleza : " Hitos en el 'giro' desde 1896 ".
• ECE 495N Lecture 36: Conferencia Spin Online de S. Datta